https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1965/Rikei

2026.01.21.23:04:08記

[2] $a$ ， $b$ は定数とし， $k$ は任意の正の値をとるものとする．
$x$ に関する2次方程式 $kx^2-(k+2)^2x+(ak^2+4k+b)=0$ の根の一つが， $k$ の値に関係なく一定であるように， $a$ ， $b$ を定めよ．
また，この場合，他の根は $k$ のどんな値に対して最小となるか．

2026.01.26.15:45:28記

[解答]
$k=0，\pm 1$ を代入して得られる
$x^2-9x+(a+4+b)=0$ …①， $-4x+b=0$ …②， $-x^2-x+(a-4+b)=0$ …③
が共通解を持てば良い．① $\pm$ ③により
$-10x+2(a+b)=0$ …④， $2x^2-8x+8=2(x-2)^2=0$ …⑤
となるので，⑤から共通解は $x=2$ でなければならず，このとき②④より $a=2，b=8$ である必要がある．

このとき $kx^2+(k+2)^2x+(2k^2+4k+8)=(x-2)(kx-(k^2+2k+4)=0$ は $k$ の値に関係なく $x=2$ を解に持つので十分である．よって求める条件は $a=2，b=8$ である．

このとき， $k$ が正であることから，他の解は AM-GM 不等式により $x=\dfrac{k^2+2k+4}{k}=k+\dfrac{4}{k}+2\geqq 2\sqrt{k\cdot\dfrac{4}{k}}+2=6$ （等号成立は $k=2$ ）を満たすので，他の解は $k=2$ のときに最小となる．

[解答]
ある $x$ の値に対して $f(k)=(a-x)k^2+(x-2)^2k+(b-4x)$ が恒等的に $0$ となる必要十分条件は， $k^2，k$ の係数，定数項が全て $0$ となることである．よって　 $a-x=0$ ， $(x-2)^2=0$ ， $b-4k=0$ 　となる．この $x，a，b$ の連立方程式を解いて $x=2，a=2，b=8$ となる．

（後半略）