https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1965/Rikei

2026.01.21.23:04:08記

[1] 数学のテストのあとで，高校生の弟が，大学生の姉と次のような対話をした． $\fbox{$\phantom{　　　　　}$}$ の中に適当な記号，式，あるいは語句をいれよ．

(弟) きょう，学校で数学のテストがありました．命題がいくつかあって，正しいものに○印を，正しくないものには×印をつける問題でした．全部できたつもりです．

(姉) それは，よかったですね．その中の一つをいってごらん．

(弟)こんなのがありました．

「二直線 $y+k(x-2)=0\cdots\cdots(1)$ ， $ky-(x+2)=0\cdots\cdots(2)$ の交点は， $k$ がどんな実数値をとっても，円 $x^2+y^2-4=0\cdots\cdots(3)$ の上にある」

というのです．もちろん，○印をつけました．

(姉) なぜ，これが正しいことがわかりましたか．

(弟) (1)，(2)から $k$ を消去したら，(3)がでるからです．それでいいでしょう．

(姉) 結構ですね．しかし，この問題が本当によくわかっているかどうか，二，三質問をしてみましょう．まず，この命題に二直線とあるのは，もちろん $(x，y)$ 平面上の二直線のことですね．では， $k$ はどういうものですか．

(弟) $k$ は実数値をとる変数です． $\fbox{$\phantom{　　　　　}$}$ ，それに応じて，方程式(1)，(2)の係数がきまって，それぞれのあらわす直線がきまります． $\fbox{$\phantom{　　　　　}$}$ ，それに対応する二直線が動きます．

(姉) ところで，二直線の交点とありますが， $k$ の値によっては，この二直線が $\fbox{$\phantom{　　　　　}$}$ になることはないかしら．

(弟) いや，それどころか，いつでも $\fbox{$\phantom{　　　　　}$}$ します．

(姉) どうして．

(弟) $\fbox{$\phantom{　　　　　}$}$ のときには，二直線の方向係数は，それぞれ $\fbox{$\phantom{　　　　　}$}$ ， $\fbox{$\phantom{　　　　　}$}$ ですが， $\fbox{$\phantom{　　　　　}$}$ ですから， $\fbox{$\phantom{　　　　　}$}$ の条件をみたします．
$\fbox{$\phantom{　　　　　}$}$ のときには，(1)は $\fbox{$\phantom{　　　　　}$}$ 軸と $\fbox{$\phantom{　　　　　}$}$ し，(2)は $\fbox{$\phantom{　　　　　}$}$ 軸と $\fbox{$\phantom{　　　　　}$}$ ですから，やはり，(1)，(2)は $\fbox{$\phantom{　　　　　}$}$ します．

(姉) うまく証明しましたね．では，本題にはいって，(1)，(2)から $k$ を消去して，(3)がでたことから，(1)，(2)の交点が(3)の上にあると結論したのは，どういう理由ですか．

(弟) 僕は，こういう問題は消去するものと覚えこんでいただけで，理由なんて考えてみたこともありません．教えてください．

(姉) では， $k$ を消去したときに，(3)の左辺をどのようにして，(1)，(2)の左辺からだしたか，まず，それを式でかいてごらん．

(弟) $x^2+y^2-4=\fbox{$\phantom{　　　　　}$}\{ y+k(x-2) \} - \fbox{$\phantom{　　　　　}$} \{ ky-(x+2) \} \cdots\cdots(4)$ です．

(姉) ここにあなたがかいた等式(4)は，等式(1)，(2)，(3)と性格がちがいますね．

(弟) (1)，(2)，(3)は□式ですが，(4)は $\fbox{$\phantom{　　　　　}$}$ 式です．

(姉) そのことを心にとめておいて，(1)，(2)の交点が，(3)の上にあることを証明しましょう．
$(a，b)$ が(1)，(2)の交点であるとすれば $x=a$ ， $y=b$ は $\fbox{$\phantom{　　　　　}$}$ をみたす．次に，いま注意したことから， $x=a$ ， $y=b$ は，もちろん $\fbox{$\phantom{　　　　　}$}$ をみたす．この二つのことから， $x=a$ ， $y=b$ は $\fbox{$\phantom{　　　　　}$}$ をみたし， $(a，b)$ が $\fbox{$\phantom{　　　　　}$}$ の上にあることがわかる．
というわけです．

(弟) なるほど，これで，消去の意味がよくわかりました．ところで，姉さん． $k$ がすべての実数値をとるとき，この交点は，(3)式の円をえがくのですか．

(姉) この交点のえがく曲線は，幾何では，交点の $\fbox{$\phantom{　　　　　}$}$ といいますね．これを $\alpha$ とし，(3)式の円を $\beta$ とすると，いままで話しあったことから， $\alpha$ は $\beta$ と $\fbox{$\phantom{　　　　　}$}$ するか，または $\alpha$ は $\beta$ の $\fbox{$\phantom{　　　　　}$}$ であることがわかりますね．実際は， $\alpha$ は $\beta$ から $\fbox{$\phantom{　　　　　}$}$ を除いたものです．証明は，ゆっくりあとで考えてごらん．

2026.01.26.14:50:07記
「いつでも $\fbox{直交}$ します」の部分は単独では「いつでも $\fbox{交差}$ します」でもあてはまりますが，その後の文脈の「 $\fbox{$\phantom{　　　　　}$}$ の条件」を考えると直交がふさわしい，というように考えます．

[解答]
(弟) きょう，学校で数学のテストがありました．命題がいくつかあって，正しいものに○印を，正しくないものには×印をつける問題でした．全部できたつもりです．

(姉) それは，よかったですね．その中の一つをいってごらん．

(弟)こんなのがありました．

「二直線 $y+k(x-2)=0\cdots\cdots(1)$ ， $ky-(x+2)=0\cdots\cdots(2)$ の交点は， $k$ がどんな実数値をとっても，円 $x^2+y^2-4=0\cdots\cdots(3)$ の上にある」

というのです．もちろん，○印をつけました．

(姉) なぜ，これが正しいことがわかりましたか．

(弟) (1)，(2)から $k$ を消去したら，(3)がでるからです．それでいいでしょう．

(弟) $k$ は実数値をとる変数です． $\fbox{$k$を定めると$\quad\,\,\,\,$}$ ，それに応じて，方程式(1)，(2)の係数がきまって，それぞれのあらわす直線がきまります． $\fbox{$k$が変化すると$\quad\,\,\,\,\,$}$ ，それに対応する二直線が動きます．

(姉) ところで，二直線の交点とありますが， $k$ の値によっては，この二直線が $\fbox{平行}$ になることはないかしら．

(弟) いや，それどころか，いつでも $\fbox{直交}$ します．

(姉) どうして．

(弟) $\fbox{$k\neq 0$}$ のときには，二直線の方向係数は，それぞれ $\fbox{$-k$}$ ， $\fbox{$\dfrac{1}{k}$}$ ですが， $\fbox{$-k\cdot\dfrac{1}{k}=-1$}$ ですから， $\fbox{直交}$ の条件をみたします．
$\fbox{$k=0$}$ のときには，(1)は $\fbox{$x$}$ 軸と $\fbox{一致}$ し，(2)は $\fbox{$y$}$ 軸と $\fbox{平行}$ （または $\fbox{$x$}$ 軸と $\fbox{垂直}$ ）ですから，やはり，(1)，(2)は $\fbox{直交}$ します．

(弟) 僕は，こういう問題は消去するものと覚えこんでいただけで，理由なんて考えてみたこともありません．教えてください．

(姉) では， $k$ を消去したときに，(3)の左辺をどのようにして，(1)，(2)の左辺からだしたか，まず，それを式でかいてごらん．

(弟) $x^2+y^2-4=\fbox{$y$}\{ y+k(x-2) \} - \fbox{$(x-2)$} \{ ky-(x+2) \} \cdots\cdots(4)$ です．

(姉) ここにあなたがかいた等式(4)は，等式(1)，(2)，(3)と性格がちがいますね．

(弟) (1)，(2)，(3)は $\fbox{方程}$ 式ですが，(4)は $\fbox{恒等}$ 式です．

(姉) そのことを心にとめておいて，(1)，(2)の交点が，(3)の上にあることを証明しましょう．
$(a，b)$ が(1)，(2)の交点であるとすれば $x=a$ ， $y=b$ は $\fbox{方程式(1)，(2)}$ をみたす．次に，いま注意したことから， $x=a$ ， $y=b$ は，もちろん $\fbox{(4)}$ をみたす．この二つのことから， $x=a$ ， $y=b$ は $\fbox{(3)}$ をみたし， $(a，b)$ が $\fbox{円(3)}$ の上にあることがわかる．
というわけです．

(姉) この交点のえがく曲線は，幾何では，交点の $\fbox{軌跡}$ といいますね．これを $\alpha$ とし，(3)式の円を $\beta$ とすると，いままで話しあったことから， $\alpha$ は $\beta$ と $\fbox{一致}$ するか，または $\alpha$ は $\beta$ の $\fbox{一部}$ であることがわかりますね．実際は， $\alpha$ は $\beta$ から $\fbox{$(2，0)\,\,$}$ を除いたものです．証明は，ゆっくりあとで考えてごらん．