1965年(昭和40年)京都大学-数学(文系)

[1] 数学のテストのあとで，高校生の弟が，大学生の姉と次のような対話をした． の中に適当な記号，式，あるいは語句をいれよ．

(弟) きょう，学校で数学のテストがありました．命題がいくつかあって，正しいものに○印を，正しくないものには×印をつける問題でした．全部できたつもりです．

(姉) それは，よかったですね．その中の一つをいってごらん．

(弟)こんなのがありました．

「二直線 ， の交点は， がどんな実数値をとっても，円 の上にある」

というのです．もちろん，○印をつけました．

(姉) なぜ，これが正しいことがわかりましたか．

(弟) (1)，(2)から を消去したら，(3)がでるからです．それでいいでしょう．

(姉) 結構ですね．しかし，この問題が本当によくわかっているかどうか，二，三質問をしてみましょう．まず，この命題に二直線とあるのは，もちろん 平面上の二直線のことですね．では， はどういうものですか．

(弟) は実数値をとる変数です．，それに応じて，方程式(1)，(2)の係数がきまって，それぞれのあらわす直線がきまります．，それに対応する二直線が動きます．

(姉) ところで，二直線の交点とありますが， の値によっては，この二直線が になることはないかしら．

(弟) いや，それどころか，いつでも します．

(姉) どうして．

(弟) のときには，二直線の方向係数は，それぞれ ， ですが， ですから， の条件をみたします．
のときには，(1)は 軸と し，(2)は 軸と ですから，やはり，(1)，(2)は します．

(姉) うまく証明しましたね．では，本題にはいって，(1)，(2)から を消去して，(3)がでたことから，(1)，(2)の交点が(3)の上にあると結論したのは，どういう理由ですか．

(弟) 僕は，こういう問題は消去するものと覚えこんでいただけで，理由なんて考えてみたこともありません．教えてください．

(姉) では， を消去したときに，(3)の左辺をどのようにして，(1)，(2)の左辺からだしたか，まず，それを式でかいてごらん．

(弟) です．

(姉) ここにあなたがかいた等式(4)は，等式(1)，(2)，(3)と性格がちがいますね．

(弟) (1)，(2)，(3)は 式ですが，(4)は 式です．

(姉) そのことを心にとめておいて，(1)，(2)の交点が，(3)の上にあることを証明しましょう．
が(1)，(2)の交点であるとすれば ， は をみたす．次に，いま注意したことから，， は，もちろん をみたす．この二つのことから，， は をみたし， が の上にあることがわかる．
というわけです．

(弟) なるほど，これで，消去の意味がよくわかりました．ところで，姉さん． がすべての実数値をとるとき，この交点は，(3)式の円をえがくのですか．

(姉) この交点のえがく曲線は，幾何では，交点の といいますね．これを とし，(3)式の円を とすると，いままで話しあったことから， は と するか，または は の であることがわかりますね．実際は， は から を除いたものです．証明は，ゆっくりあとで考えてごらん．

[2] ， は定数とし， は任意の正の値をとるものとする．
に関する2次方程式 の根の一つが， の値に関係なく一定であるように，， を定めよ．
また，この場合，他の根は のどんな値に対して最小となるか．

[3] ， は， と との間にある定角とする． がどんな角であっても，つねに

が成立した．このとき，， の値をもとめよ．

[4] 平面上で，角 内に定点 がある．いま，二点 ， が同時に点 を出発して，同じ一定の速さで，それぞれ半直線 ， 上を進むものとする．出発後，しばらくして，この二点がそれぞれ ， にあるとき， であった．さらに，もっと進んで，二点がそれぞれ ， にあるときも， であった．この場合，点 は角 の二等分線上にあることを証明せよ．

[5] 三角形 において，角 の二等分線と角 の外角の二等分線との交点を とし，また，角 の二等分線と角 の外角の二等分線との交点を とする．二点 ， から，辺 の延長におろした垂線の足を，それぞれ ， とする．このとき， となることを証明せよ．

[6] ，， にどんな実数値を与えても，つねに不等式

が成立するような実数 の範囲を求めよ．