https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1964/Rikei

2026.01.19.15:04:42記

[6] $y=\cos x$ のグラフと $x$ 軸とで囲まれた図形を $S$ とする． $S$ に含まれ $x$ 軸上に $1$ 辺をもつ長方形および三角形と， $S$ に含まれ $x$ 軸上に直径をもつ半円との $3$ 種の図形について，それぞれの面積の最大値を $A$ ， $B$ ， $C$ とする．
$A$ ， $B$ ， $C$ の大小関係をしらべよ．

2026.01.19.18:35:54記
問題文が不十分なので，「 $y=\cos x$ （ $-\dfrac{\pi}{2}\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{2}$ ）のグラフ」として解答しておきます．
$A$ の値は正確には求まらないので後回しにします．

[解答]
(i) $B$ について：
$S$ に含まれる $x$ 軸上の $1$ 辺を持つ三角形の底辺の長さは $\pi$ 以下で高さは $1$ 以下だから，その最大値は $\left(\pm\dfrac{\pi}{2}，0\right)$ ， $(0,1)$ を頂点とする三角形の面積である．よって $B=\dfrac{\pi}{2}$ となる．

(ii) $C$ について：
$x$ 軸に垂直は半径を考えることにより，円の半径は $1$ 以下となる． $0\leqq t\leqq \dfrac{\pi}{2}$ で $\sin t\leqq t$ であるから， $t^2+\cos^2 t\geqq \sin^2 t+\cos^2 t=1$ となり，半円板 $x^2+y^2\leqq 1$ ， $y\geqq 0$ は $S$ に含まれ，この半円が $S$ に含まれる面積最大の半円となる．よって $C=\dfrac{\pi}{2}$ となる．

(iii) $A$ について：
長方形の $x$ 軸上の一辺の長さを固定したとき，高さが最大となるのは，その辺の中点が原点となるときである．そのときの頂点は $(\pm t，0)$ ， $(\pm t，\cos t)$ とおくことができるので，その面積は $2t\cos t$ となる．
$f(t)=2t\cos t$ とおくと $f'(t)=2\cos t-2t\sin t$ は $f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(1-\dfrac{\pi}{4}\right)\gt 0$ ，
$f'\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=1-\dfrac{\sqrt{3}\pi}{3}\lt 0$ であるから， $f(t)$ は $\dfrac{\pi}{4}\lt u\lt\dfrac{\pi}{3}$ をみたすある $u$ で最大となる．よって $A\lt2\cdot\dfrac{\pi}{3}\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}\pi}{3}\lt\dfrac{\pi}{2}=B=C$ となる．

以上から， $A\lt B=C$ となる．

[別解]
(iii) $A$ について：
長方形の $x$ 軸上の一辺の長さを固定したとき，高さが最大となるのは，その辺の中点が原点となるときである．そのときの頂点は $(\pm t，0)$ ， $(\pm t，\cos t)$ とおくことができるので，その面積は $2t\cos t$ となる． $t=0，\dfrac{\pi}{2}$ のとき面積は $0$ となるので， $0\lt t\lt\dfrac{\pi}{2}$ で考えて良い．

$0\lt u\lt \dfrac{\pi}{2}$ で $\sin u\lt u$ であるから， $0\lt t\lt\dfrac{\pi}{2}$ で $\cos t\lt \dfrac{\pi}{2}-t$ が成立するので．
$2t\cos t\lt 2t\left(\dfrac{\pi}{2}-t\right)\leqq 2\cdot \left(\dfrac{\pi}{4}\right)^2=\dfrac{\pi}{4}\cdot \dfrac{\pi}{2}\lt \dfrac{\pi}{2}=B=C$ となる．