https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1964/Rikei

2026.01.19.15:04:42記

[5] $a_1$ ， $a_2$ ， $\cdots$ ， $a_n$ ， $\cdots$ を数列とし， $\displaystyle f_n(x)=\cos \left( x+\dfrac{a_{n+1}+a_n}{2} \right) \sin\dfrac{a_{n+1}-a_n}{2}$
（ $n=1$ ， $2$ ， $\cdots\cdots$ ）とおく．

(イ) すべての $x$ の値について， $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ が収束するためには，数列 $a_1$ ， $a_2$ ， $\cdots$ ， $a_n$ ， $\cdots$ がどのような条件をみたすことが必要十分であるか．

(ロ) (イ)の条件がみたされているときについて，和 $\displaystyle F(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ を求め，
$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} F(x)\,dx$ と級数の和 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left( \int_0^{\frac{\pi}{2}} f_n(x)dx \right)$ とを比較せよ．

2026.01.19.17:58:23記

[解答]
(イ) $f_n(x)=\dfrac{1}{2}\sin(x+a_{n+1})-\dfrac{1}{2}\sin(x+a_{n})$ であるから， $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ $=\dfrac{1}{2}\sin(x+a_{n+1})-\dfrac{1}{2}\sin(x+a_{1})$ であるから，すべての $x$ について $\sin(x+a_{n+1})=\sin x\cos a_{n+1}+\cos x\sin a_{n+1}$ が収束すれば良く，そのための必要十分条件は数列 $\{\cos a_n\}$ ， $\{\sin a_n\}$ が収束することである．

(ロ) 数列 $\{\cos a_n\}$ ， $\{\sin a_n\}$ が収束先をそれぞれ $\cos\alpha$ ， $\sin\alpha$ （ $-\pi\leqq\alpha\lt \pi$ ）とすると
$F(x)=\dfrac{\sin x(\cos\alpha-\cos a_1)+\cos x(\sin\alpha-\sin a_1)}{2}$ であるから，
$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} F(x)\,dx$ $=\dfrac{\cos\alpha-\cos a_1+\sin\alpha-\sin a_1}{2}$
となる．

一方， $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} f_n(x)\,dx$ $=\dfrac{\cos a_{n+1}-\cos a_n+\sin a_{n+1}-\sin a_n}{2}$ であるから，
$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left( \int_0^{\frac{\pi}{2}} f_n(x)dx \right)$ $=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{\cos a_{n+1}-\cos a_1+\sin a_{n+1}-\sin a_1}{2}$ $=\dfrac{\cos \alpha-\cos a_1+\sin \alpha-\sin a_1}{2}$
となる．

よって両者は等しい．