https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1964/Rikei

2026.01.19.15:04:42記

[4] 放物線 $y=x^2$ に，点 $\mbox{P}$ から $2$ つの接線をひき，それらの交角が $60^{\circ}$ であるように点 $\mbox{P}$ が動くとき，点 $\mbox{P}$ の軌跡を求めよ．

2026.01.19.17:38:15記

[解答]
$2$ つの接点の $x$ 座標を $\alpha，\beta$ とすると， $\mbox{P}\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}，\alpha\beta\right)$ である．

$2$ 接線の傾きは $2\alpha，2\beta$ であるから，これらのなす角度が $60^{\circ}$ であるとき，
$\left|\dfrac{2\alpha-2\beta}{1+4\alpha\beta}\right|=\sqrt{3}$
が成立する．よって $4(\alpha-\beta)^2=3(1+4\alpha\beta)^2$ に $2X=\alpha+\beta$ ， $Y=\alpha\beta$ を代入して $4\{(2X)^2-4Y\}=3(1+4Y)^2$ ，整理して
つまり双曲線 $3X^2-9\left(Y-\dfrac{5}{12}\right)^2=-1$ となる（図示略）．