1964年(昭和39年)京都大学-数学(理系(A型))[3]

[3] がある．辺 の3等分点を ， とする（）．辺 上に点 をとり， が ， と交わる点をそれぞれ ， とする．

(イ) 線分 ，， の間の大小関係をしらべよ．

(ロ) 線分 ，， と同じ長さの 辺をもつ三角形が存在するような，点 の範囲を求めよ．

[解答]
(イ) の中点を とすると，
であり，線分 に対して と は反対側にあるので，線分 　と線分 とは，線分 の両端を除く点で交わり， の順番に並ぶ．よって となる．

を通り に平行な直線を引いて同様に考えると となるので，
となる．

(ロ) が最大辺なので， となれば良く，つまり が の中点となるような点 の位置よりも点 が 側にあれば良い．

が の中点となるような点 の位置は の中点であるから，求める の範囲は「 の中点と の間（両端除く）」となる．