https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1964/Rikei

2026.01.19.15:04:42記

[2] 次の(i)，(ii)，(iii)の条件を同時にみたす， $3$ つのたがいに異なる $x$ の $3$ 次式の組を，すべて求めよ．

(i) $x^3$ の係数はいずれも1である．

(ii) それらの最大公約数は $x+3$ である．

(iii) それらの最小公倍数は $x^5+x^4-41x^3-33x^2+180x-108$ である．

2026.01.19.15:56:33記
$3$ つの $3$ 次式を $x+3$ で割って得られる $3$ つの $2$ 次式のうちどの2つにも共通因数がなければ最小公倍数は $7$ 次式となりますが，実際は $5$ 次式ですから， $2$ つの $3$ 次式の最大公約数は $2$ 次式でなければならず， $(x+3)(x-a)(x-b)$ ， $(x+3)(x-a)(x-c)$ （ $b\neq c$ で $b，c$ は $a$ に等しくても良い）の形をしています．このことから $x^5+x^4-41x^3-33x^2+180x-108$ は $4$ 次式 $(x+3)(x-a)(x-b)(x-c)$ で割り切れなければならず，その商が一次式となることから， $x^5+x^4-41x^3-33x^2+180x-108$ は実数の範囲内で $5$ つの一次式に因数分解できることがわかります．

最高次の係数が $1$ の整数係数の多項式（モニック多項式）が有理数を解に持つならば，それは定数項の約数（負の約数も含む）となります． $1$ つの解が $-3$ となるので，残りの $4$ つの解は $36$ の約数となるので， $\pm1，\pm2，\pm3，\pm4，\pm6，\pm9，\pm12，\pm18，\pm 36$ のうちのいずれかとなります．これを効率良く絞る方法もありますが，少し面倒なので時間があれば述べることにしますが，係数和が $0$ となることはすぐにわかるので， $(x+3)(x-1)$ で割り切れることがわかるのであとはその商の $3$ 次式を因数分解すれば良いのです．

[解答]
$x^5+x^4-41x^3-33x^2+180x-108$ $=(x+3)(x-1)^2(x+6)(x-6)$ となるので，この $5$ 次式の因数である $x^3$ の係数が $1$ の3次式は
$(x+3)(x-1)^2$ ， $(x+3)(x-1)(x+6)$ ， $(x+3)(x-1)(x-6)$ ， $(x+3)(x+1)(x-6)$
の $4$ つである．この $4$ つから $3$ つを選ぶ $4$ 通りのうちで題意を見たすものは「 $(x+3)(x-1)^2$ と $(x+3)(x-1)(x+6)$ と $(x+3)(x+6)(x-6)$ 」または「 $(x+3)(x-1)^2$ と $(x+3)(x-1)(x-6)$ と $(x+3)(x+6)(x-6)$ 」の二通りである．

[別解]
$x^5+x^4-41x^3-33x^2+180x-108$ $=(x+3)(x-1)^2(x+6)(x-6)$ となる． $(x-1)^2$ を因数に持つ3次式がない場合，最小公倍数が $(x-1)^2$ で割り切れないので， $3$ 次式のうちの $1$ つは $(x+3)(x-1)^2$ でなければならない．

(a) 残りの $2$ つの $3$ 次式の最小公倍数が $(x+3)(x+6)(x-6)$ の場合：
異なる $3$ 次式であることに反するので不適．

(b) 残りの $2$ つの $3$ 次式の最小公倍数が $(x+3)(x-1)(x+6)(x-6)$ の場合：
両方が $(x-1)$ を因数に持つと $3$ つの $3$ 次式の最大公約数が $(x+3)(x-1)$ となり(ii)に反するので $(x-1)$ は片方にのみ含まれる．よって
「 $(x+3)(x-1)(x+6)$ と $(x+3)(x+6)(x-6)$ 」または「 $(x+3)(x-1)(x-6)$ と $(x+3)(x+6)(x-6)$ 」となる．

(c) 残りの $2$ つの $3$ 次式の最小公倍数が $(x+3)(x-1)^2(x+6)(x-6)$ の場合：
両方が $(x-1)$ を因数に持つと $3$ つの $3$ 次式の最大公約数が $(x+3)(x-1)$ となり(ii)に反するので $(x-1)$ は片方にのみ含まれるが，その場合片方が $(x+3)(x-1)^2$ となり，異なる $3$ 次式であることに反するので不適．

以上から「 $(x+3)(x-1)^2$ と $(x+3)(x-1)(x+6)$ と $(x+3)(x+6)(x-6)$ 」または「 $(x+3)(x-1)^2$ と $(x+3)(x-1)(x-6)$ と $(x+3)(x+6)(x-6)$ 」となる．