https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1964/Rikei

2026.01.19.15:04:42記

[1](イ) $a_1$ ， $a_2$ ， $a_3$ ， $a_4$ が正の数であるとき，
$\dfrac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4}\geqq\sqrt[4]{a_1a_2a_3a_4}$ が成り立つことを証明せよ．

(ロ) 4つの正の数 $a_1$ ， $a_2$ ， $a_3$ ， $a_4$ がある．これらの順序を任意にかえたものを， $b_1$ ， $b_2$ ， $b_3$ ， $b_4$ とするとき， $\dfrac{a_1}{b_1}+\dfrac{a_2}{b_2}+\dfrac{a_3}{b_3}+\dfrac{a_4}{b_4}\geqq4$ が成り立つことを証明せよ．

2026.01.19.15:18:32記
本問において等号成立条件は不要ですが，等号成立条件を問われた場合のことを考えて，等号成立条件にも言及しておきます．答案では「（等号成立は…）」の部分を全て削除して構いません．

[解答]
(イ) 一般に $p，q$ を正の数とするとき， $(\sqrt{p}-\sqrt{q})^2\geqq 0$ から $\dfrac{p+q}{2}\geqq \sqrt{pq}$ （等号成立は $p=q$ ）が成立する．

よって $a_1$ ， $a_2$ ， $a_3$ ， $a_4$ が正の数であるとき，
$\dfrac{a_1+a_2}{2}\geqq\sqrt{a_1a_2}$ （等号成立は $a_1=a_2$ ），
$\dfrac{a_3+a_4}{2}\geqq\sqrt{a_3a_4}$ （等号成立は $a_3=a_4$ ）
が成立し， $\sqrt{a_1a_2}$ ， $\sqrt{a_3a_4}$ は正の数であるから，
$\dfrac{\sqrt{a_1a_2}+\sqrt{a_3a_4}}{2}\geqq\sqrt{\sqrt{a_1a_2}\sqrt{a_3a_4}}$ （等号成立は $a_1a_2=a_3a_4$ ）
が成立する．以上から
$\dfrac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4}$ $=\dfrac{\dfrac{a_1+a_2}{2}+\dfrac{a_3+a_4}{2}}{2}$ $\geqq\dfrac{\sqrt{a_1a_2}+\sqrt{a_3a_4}}{2}$ $\geqq\sqrt[4]{a_1a_2a_3a_4}$ （等号成立は $a_1=a_2=a_3=a_4$ ）
となる．

(ロ) (イ) により $\dfrac{a_1}{b_1}+\dfrac{a_2}{b_2}+\dfrac{a_3}{b_3}+\dfrac{a_4}{b_4}\geqq 4\sqrt[4]{\dfrac{a_1}{b_1}\cdot\dfrac{a_2}{b_2}\cdot\dfrac{a_2}{b_2}\cdot\dfrac{a_3}{b_4}}=4$ （等号成立は $\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_1}=\dfrac{a_3}{b_3}=\dfrac{a_4}{b_4}$ ，すなわち $a_1=b_1$ ， $a_2=b_2$ ， $a_3=b_3$ ， $a_4=b_4$ ）が成立する．