1964年(昭和39年)京都大学-数学(理系(A型))

[1](イ) ，，， が正の数であるとき，
が成り立つことを証明せよ．

(ロ) 4つの正の数 ，，， がある．これらの順序を任意にかえたものを，，，， とするとき， が成り立つことを証明せよ．

[2] 次の(i)，(ii)，(iii)の条件を同時にみたす， つのたがいに異なる の 次式の組を，すべて求めよ．

(i) の係数はいずれも1である．

(ii) それらの最大公約数は である．

(iii) それらの最小公倍数は である．

[3] がある．辺 の3等分点を ， とする（）．辺 上に点 をとり， が ， と交わる点をそれぞれ ， とする．

(イ) 線分 ，， の間の大小関係をしらべよ．

(ロ) 線分 ，， と同じ長さの 辺をもつ三角形が存在するような，点 の範囲を求めよ．

[4] 放物線 に，点 から つの接線をひき，それらの交角が であるように点 が動くとき，点 の軌跡を求めよ．

[5] ，，，， を数列とし，
（，，）とおく．

(イ) すべての の値について， が収束するためには，数列 ，，，， がどのような条件をみたすことが必要十分であるか．

(ロ) (イ)の条件がみたされているときについて，和 を求め，
と級数の和 とを比較せよ．

[6] のグラフと 軸とで囲まれた図形を とする． に含まれ 軸上に 辺をもつ長方形および三角形と， に含まれ 軸上に直径をもつ半円との 種の図形について，それぞれの面積の最大値を ，， とする．
，， の大小関係をしらべよ．