https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1964/Bunkei

2026.01.19.23:28:51記

[6] $x$ の2つの函数（関数） $y_1=x^2$ ， $y_2=ax+b$ がある． $0 \leqq x \leqq 2$ の範囲において， $|y_1-y_2|$ の最大値を最小にするように，係数 $a$ ， $b$ の値を定めよ．

本問のテーマ

チェビシェフ回帰（連続版）
中点値(midrange)（チェビシェフ基準，または min-max 基準）
チェビシェフの多項式の理論

2026.01.20.23:06記
2010年(平成22年)東京大学後期-総合科目ＩＩ[1]A - [別館]球面倶楽部零八式markIISR の一般論を参照すると，凸な曲線 $y=x^2$ （ $0\leqq x\leqq 2$ ）のチェビシェフ基準による回帰直線は「曲線の両端を結ぶ直線と，それに平行な接線との真ん中にある直線」となることがわかります．

[大人の解答]
直線の傾き $a$ は $x^2$ の $0\leqq x\leqq 2$ における平均変化率 $2$ である．このとき
$x^2-ax-b=x^2-2x-b$ に $x=0，1$ を代入すると $-b，-1-b$ となるので，その平均が $0$ となることから $b=-\dfrac{1}{2}$ となる．

中点値(midrange)（チェビシェフ基準，または min-max 基準）

本問は最大値を最小にする（minimum of maximum）ので，チェビシェフ基準による中点値が登場します．中点値については
中点値(midrange) - 球面倶楽部零八式 mark II
を参照してください．

[解答]
$f(x)=x^2-ax$ とし， $a$ を固定したときの $f(x)$ の $0\leqq x\leqq 2$ における最大値を $M(a)$ ，最小値を $m(a)$ とする．

このとき $|y_1-y_2|=|f(x)-b|$ であるから，

$b\geqq M(a)$ なら， $\max |y_1-y_2|=b-m(a)\geqq M(a)-m(a)$ （不等式の等号は $b=M(a)$ ），
$b\leqq m(a)$ なら， $\max |y_1-y_2|=M(a)-b\geqq M(a)-m(a)$ （不等式の等号は $b=m(a)$ ），
$m(a)\leqq b\leqq M(a)$ なら $\max |y_1-y_2|=\max\{ M(a)-b，b-m(a)\}$ $\geqq\dfrac{M(a)-m(a)}{2}$ （不等式の等号は $b=\dfrac{M(a)+m(a)}{2}$ ）

となり， $\max |y_1-y_2|$ は $b=\dfrac{M(a)+m(a)}{2}$ のときに最小値 $\dfrac{M(a)-m(a)}{2}$ をとる．

さて， $a$ を動かしたとき，
$M(a)=\begin{cases} -2a+4 & (a\leqq 2) \\ 0 & (2\leqq a) \end{cases}$ ，
$m(a)=\begin{cases} 0 & (a\leqq 0) \\ -\dfrac{a^2}{4} & (0\leqq a\leqq 4) \\ -2a+4 & (4\leqq a) \end{cases}$
であるから，
$\dfrac{M(a)-m(a)}{2}=\begin{cases} -a+2 & (a\leqq 0) \\ \dfrac{a^2}{8}-2+2 & (0\leqq a\leqq 2) \\ \dfrac{a^2}{8} & (2\leqq a\leqq 4) \\ a-2 & (4\leqq a) \end{cases}$
となり，このグラフは $a=2$ について左右対称で， $a\geqq 2$ で単調増加であるから $a=2$ で最小となる．このとき $b=\dfrac{M(2)+m(2)}{2}=-\dfrac{1}{2}$ となる．

チェビシェフの多項式の理論

1977年(昭和52年)東京大学-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR，
1990年(平成2年)東京大学前期-数学(理科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
1990年(平成2年)東京大学前期-数学(理科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
を参照のこと．

［チェビシェフの定理］
$f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n$ （モニック多項式）
とするとき， $|f(x)|$ の $-1\leqq x\leqq 1$ における最大値は $\dfrac{1}{2^{n-1}}$ 以上となる
（等号成立は $f(x)=\dfrac{1}{2^{n-1}}T_n(x)$ のとき）

1977年(昭和52年)東京大学-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR には $n=3$ の場合の証明がある．

ここでは $n=2$ の場合について証明する．
$T_2(\cos\theta)=\cos2\theta$
に注意すると， $T_2(x)$ は $-1\leqq x\leqq 1$ で $-1$ と $1$ の間をジグザグする．

$x$	$-1$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$1$
$T_2(x)$	$1$	$\searrow$	$-1$	$\nearrow$	$1$

ではチェビシェフの定理の証明の $n=2$ の場合を証明しよう．

$|f(x)|$ の $-1\leqq x\leqq 1$ における最大値 $M$ が $M\leqq \dfrac{1}{2}$ と仮定する．

このとき $-1\leqq x\leqq 1$ なる任意の $x$ に対して $-\dfrac{1}{2}\leqq f(x)\leqq \dfrac{1}{2}$ が成立する．

ここで $F(x)=2f(x)-T_2(x)$ とおくと， $F(x)$ は $1$ 次以下の多項式であり，
$F(-1)=2f(-1)-T_2(-1)=2f(-1)-1\leqq 2\cdot\dfrac{1}{2}-1=0$ ，
$F(0)=2f(0)-T_2(0)=2f(0)+1\geqq -2\cdot\dfrac{1}{2}+1=0$ ，
$F(1)=2f(1)-T_2(1)=2f(1)-1\leqq 2\cdot\dfrac{1}{2}-1=0$
が成立する． $F(x)$ は $1$ 次以下の多項式であるから，この条件を満たすものは $F(x)$ が恒等的に $0$ となる場合しか起こらない．

以上から， $|f(x)|$ の $-1\leqq x\leqq 1$ における最大値 $M$ が $M\geqq \dfrac{1}{4}$ となり，等号成立が $f(x)=\dfrac{1}{2}T_2(x)$ であることが証明された．

[大人の解答]
$x=1+X$ とおくと $|y_1-y_2|=|X^2+(2-a)X+1-a-b|$ となるので，この $-1\leqq X\leqq 1$ における最大値が最小となるのは
$X^2+(2-a)X+1-a-b=\dfrac{1}{2}T_2(X)=X^2-\dfrac{1}{2}$ のときである．

よって $a=2，b=-\dfrac{1}{2}$ のときである．