https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1964/Bunkei

2026.01.19.23:28:51記

[5] $a$ ， $b$ は1でない正の数とする． $x$ の2次方程式 $\displaystyle x^2-{(\log_ab)}^2x+\log_a \left( \dfrac{1}{b^2} \right) =0$ がある．

(イ) この方程式が $\displaystyle \log_b \left( \dfrac{1}{a} \right)$ より大きい2根（重根でもよい）をもつような点 $(a，b)$ の範囲を求め，それを図示せよ．

(ロ) また，上の2次方程式の2根を $\alpha$ ， $\beta$ として， $(a，b)$ が(イ)の条件の範囲を動くとき， $12\alpha+12\beta-\alpha^2\beta-\alpha\beta^2$ のとりうる値の最大値を求めよ．

2026.01.20.00:16記

[解答]
(イ) $\log_a b=L$ とおくと， $f(x)=x^2-L^2x-2L=0$ の2解がともに $-\dfrac{1}{L}$ よりも大きくなるための条件を求めれば良い．

端点 $f\left(-\dfrac{1}{L}\right)=\dfrac{1}{L^2}+L-2L=\dfrac{1-L^3}{L^2}\gt 0$ から $L\lt 1$ となる．

軸 $\dfrac{L^2}{2}\gt -\dfrac{1}{L}$ から $L(L+\sqrt[3]{2})(L^2-\sqrt[3]{2}L+\sqrt[3]{4})\gt 0$ となり「 $L\lt -\sqrt[3]{2}$ または $0\lt L$ 」となる．

判別式 $L^4+8L\geqq 0$ から「 $L\leqq -2$ または $0\leqq L$ 」となる．

以上から， $L\leqq -2$ または $0\lt L\lt 1$ となり，よって

$0\lt a\lt 1$ のとき $a^{-2}\leqq b$ または $a\lt b\lt 1$ ，
$1\lt a$ のとき $b\leqq a^{-2}$ または $1\lt b\lt a$

となる．これらを図示すると次図．境界の実線は含み，境界の点線及び白丸は除く．

(ロ) $\alpha+\beta=L^2$ ， $\alpha\beta=-2L$ であるから，
$12\alpha+12\beta-\alpha^2\beta-\alpha\beta^2$ $=2(L+6)L^2$ （ $=g(L)$ とおく）
となるので， $g(L)$ の増減表は

$L$	$(-\infty)$	$\cdots$	$-4$	$\cdots$	$-2$		$(0)$	$\cdots$	$(1)$
$g(L)$	$(-\infty)$	$\nearrow$	$64$	$\searrow$	$32$		$(0)$	$\nearrow$	$(14)$

となり，よって $L\leqq -2$ ， $0\lt L\lt 1$ における $g(L)$ の最大値は $64$ である．