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1963年(昭和38年)京都大学-数学(理系(A型))[6]

2026.01.16.15:21:58記

[6] $\displaystyle 0\lt x\lt \dfrac{\pi}{4}$ のとき， $\displaystyle \int_0^x \cos t dt \gt 2 \int_0^x \sin t dt$ を証明せよ．

2026.01.19.01:49:42記

[解答]
$f(x)=\cos x-2\sin x$ とおき， $F(x)=\displaystyle \int_0^x f(t)\, dt=\sin x+2\cos x-2$ とおく． $0\lt x\lt \dfrac{\pi}{4}$ で $\cos x$ ， $-2\sin x$ は単調減少であるから， $F(x)$ は上に凸であり， $0\lt x\lt \dfrac{\pi}{4}$ において

$F(x)\gt \min\left\{F(0)，F\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right\}$ $=\min\left\{0，\dfrac{3-2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right\}$ $=0$

が成立する．

[別解]
$0\lt x\lt\dfrac{\pi}{4}$ で $\sin x\gt 2-2\cos x$ ，すなわち

$2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2}\gt 4\sin^2\dfrac{x}{2}$

を経由して

$2\tan\dfrac{x}{2}\lt 1$

を示せば良い．ここで $0\lt x\lt\dfrac{\pi}{4}$ で

$2\tan\dfrac{x}{2}\lt \dfrac{2\tan\dfrac{x}{2}}{1-\tan^2\dfrac{x}{2}}=\tan x\lt\tan\dfrac{\pi}{4}=1$

となるので題意は示された．

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