https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1963/Rikei

2026.01.16.15:21:58記

[5] 与えられた三角形 $\mbox{OP}_0\mbox{P}_1$ において， $\mbox{OP}_0=a$ ， $\angle \mbox{OP}_0\mbox{P}_1=\alpha$ ， $\angle \mbox{P}_0\mbox{OP}_1=\theta$ とし，つぎつぎに相似三角形
$\triangle\mbox{OP}_0\mbox{P}_1$ ∽ $\triangle\mbox{OP}_1\mbox{P}_2$ ∽ $\cdots\cdots$ ∽ $\triangle\mbox{OP}_n\mbox{P}_{n+1}$ ∽ $\cdots\cdots$
を作っていく．

(イ) $n$ を限りなく大きくするとき， $\mbox{P}_n$ が定点 $\mbox{O}$ に限りなく近づくための必要十分条件を $\theta$ ， $\alpha$ で表わせ．

「(イ)が成り立つとして，(ロ)，(ハ)に答えよ」

(ロ) $\mbox{S} = \triangle\mbox{OP}_0\mbox{P}_1 + \triangle\mbox{OP}_1\mbox{P}_2 + \cdots\cdots + \triangle\mbox{OP}_n\mbox{P}_{n+1} + \cdots\cdots$ の値は， $\triangle\mbox{OP}_0\mbox{P}_1$ の何倍であるか，それを $\theta$ と $\alpha$ で表わせ．ここに， $\triangle\mbox{OP}_n\mbox{P}_{n+1}$ は面積を表わす．

(ハ) $\mbox{L}=\mbox{P}_0\mbox{P}_1+\mbox{P}_1\mbox{P}_2+\cdots\cdots+\mbox{P}_n\mbox{P}_{n+1}+\cdots\cdots$ の値を求めよ．また $a$ ， $\alpha$ を固定したまま， $\theta$ を限りなく $0$ に近づけたとき， $\mbox{L}$ はどんな値に近づくか．

本問のテーマ

対数螺旋（等角螺旋）
折れ線の極限としての曲線の長さ

2026.01.19.01:24:03記

[解答]
(イ) $\mbox{OP}_n=x_n$ とおくと，数列 $\{x_n\}$ は等比数列であるから，求める必要十分条件は正数である公比が $1$ 未満，つまり $x_1\lt x_0$ であり，三角形の辺の長さの大小と対角の大小は一致するので， $\alpha\lt \pi-(\alpha+\theta)$ ，つまり $\theta+2\alpha\lt \pi$ となる．

(ロ) 等比数列 $\{x_n\}$ の公比は正弦定理から $r=\dfrac{\sin\alpha}{\sin(\theta+\alpha)}$ であるから，三角形の面積は公比 $r^2$ の等比数列となる．よって
$S=\dfrac{1}{1-r^2}\triangle\mbox{OP}_0\mbox{P}_1$ $=\dfrac{\sin^2(\theta+\alpha)}{\sin^2(\theta+\alpha)-\sin^2\alpha}\triangle\mbox{OP}_0\mbox{P}_1$
となり， $\triangle\mbox{OP}_0\mbox{P}_1$ の $\dfrac{\sin^2(\theta+\alpha)}{\sin^2(\theta+\alpha)-\sin^2\alpha}$ 倍である．

(ハ) $\mbox{P}_0\mbox{P}_1=\dfrac{\sin\theta}{\sin(\theta+\alpha)}a$ であり，線分の長さは公比 $r$ の等比数列となる．よって
$L=\dfrac{1}{1-r}\mbox{P}_0\mbox{P}_1$ $=\dfrac{a \sin\theta}{\sin(\theta+\alpha)-\sin\alpha}$ となる．また，
$\displaystyle\lim_{\theta\to +0} L$ $=\displaystyle\lim_{\theta\to +0} \dfrac{a\cdot \dfrac{\sin\theta-\sin 0}{\theta}}{\dfrac{\sin(\theta+\alpha)-\sin\alpha}{\theta}}$ $=\dfrac{a\cos 0}{\cos(0+\alpha)}=\dfrac{a}{\cos\alpha}$ となるので， $L$ は $\dfrac{a}{\cos\alpha}$ に近づく．

折れ線の極限は，極座標表示で $r=ae^{-b\theta}$ ， $b=\dfrac{1}{\tan\alpha}$ となる対数螺旋（等角螺旋）となる．よって $L$ の極限は
$\displaystyle\int_0^{+\infty} \sqrt{r^2+\left(\dfrac{dr}{d\theta}\right)^2}\,d\theta$ $=\displaystyle\int_0^{+\infty} \sqrt{a^2+a^2b^2}e^{-b\theta}\,d\theta$ $=-\dfrac{a\sqrt{1+b^2}}{b}\Bigl[e^{-b\theta}\Bigr]_0^{+\infty}$ $=a\sqrt{\tan^2\alpha+1}$ $=\dfrac{a}{\cos\alpha}$ となる．

2007年(平成19年)東京大学前期-数学(理科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR も参照のこと．