https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1963/Rikei

2026.01.16.15:21:58記

[4] 三角形 $\mbox{ABC}$ の辺上を動く点 $\mbox{D}$ ， $\mbox{E}$ ， $\mbox{F}$ が，時刻 $t=0$ にそれぞれ $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ を出発し， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ ， $\mbox{A}$ にむかってそれぞれ一定の速さで進んで，時刻 $t=1$ に $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ ， $\mbox{A}$ に達するものとする．

(イ) その間 $\triangle\mbox{DEF}$ の重心は動かないことを示せ．

(ロ) $\triangle\mbox{DEF}$ の面積の最小値は $\triangle\mbox{ABC}$ の面積の何倍か．

2026.01.19.00:38:57記

[解答]
(イ) $\mbox{A}(\vec{a})$ ， $\mbox{B}(\vec{b})$ ， $\mbox{C}(\vec{c})$ とおくと，時刻 $t$ における $\rm D，E，F$ の位置ベクトル $\vec{d}，\vec{e}，\vec{f}$ は
$\vec{d}=(1-t)\vec{a}+t\vec{b}$ ， $\vec{e}=(1-t)\vec{b}+t\vec{c}$ ， $\vec{f}=(1-t)\vec{c}+t\vec{a}$ となるので， $\triangle\mbox{DEF}$ の重心は $\dfrac{\vec{d}+\vec{e}+\vec{f}}{3}$ $=\dfrac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$ となり，これは $t$ によらないので， $\triangle\mbox{DEF}$ の重心は動かない．

(ロ) $\triangle\mbox{DEF}$ $=\triangle\mbox{ABC}\times\{1-3t(1-t))\}$ $=\triangle\mbox{ABC}\times\left\{3\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\right\}$ は $t=\dfrac{1}{2}$ のときに最小値 $\dfrac{\triangle\mbox{ABC}}{4}$ をとるので， $\triangle\mbox{DEF}$ の面積の最小値は $\triangle\mbox{ABC}$ の面積の $\dfrac{1}{4}$ 倍である．