https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1963/Rikei

2026.01.16.15:21:58記

[3] 連立方程式
$xz=x+z^2+z$ ……①
$yz=y+z^2+z$ ……②
$z^3+yz^2+2z^2+xz-yz=0$ ……③
を解くのに，A君はつぎのようにして， $4$ 組の解をえた．この答案は正しいかどうか判定し，正しくないならば，どこをどう直せばよいか，A君の答案に加筆訂正せよ．

A君の答案
① $\times y -$ ② $\times x$
$(y-x)z(z+1)=0$
ゆえに，(イ) $z=0$ ，または(ロ) $z=-1$ ，または(ハ) $x=y$

(イ) $z=0$ のとき，①によって $x=0$ ，②によって $y=0$
ゆえに $x=0$ ， $y=0$ ， $z=0$ は解の $1$ つ
である．

(ロ) $z=-1$ のとき，①によって $x=0$ ，②によって $y=0$
ゆえに $x=0$ ， $y=0$ ， $z=-1$ は解の $1$ つである．

(ハ) $x=y$ のとき，③から $z^3+yz^2+2z^2=0$
$z=0$ は(イ)で既に吟味したから， $z \neq 0$ とすれば，上式から
$z+y+2=0$ すなわち $z=-(y+2)$
これを②に代入して， $-y(y+2)=y+(y+2)^2-(y+2)$
∴ $2y^2+6y+2=0$ ，すなわち $y^2+3y+1=0$ ∴ $\displaystyle y=\dfrac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$

$z=-(y+2)$ であったから， $\displaystyle z=\dfrac{-7\mp\sqrt{5}}{2}$
ゆえに $\displaystyle x=\dfrac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$ ， $\displaystyle y=\dfrac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$ ，
$\displaystyle z=\dfrac{-7\mp\sqrt{5}}{2}$ (複号同順)も解である．

2026.01.19.00:27:25記
① $-$ ②から $(x-y)(z-1)=0$ となることを用いた方が良く，

(a) $z=1$ のとき： $x=x+2$ より不適．

(b) $x=y$ のとき：
$xz=x+z^2+z$ ， $z^2(z+x+2)=0$ で，後者で $z=0$ のときは $x=y=0$ となり， $z\neq 0$ のときは $x+z=-2$ から
$z^2+z-1=0$ から $z=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$ ， $x=y=\dfrac{-3\mp\sqrt{5}}{2}$ （複号同順）．

となります．

[解答]
① $\times y -$ ② $\times x$
$(y-x)z(z+1)=0$
ゆえに，(イ) $z=0$ ，または(ロ) $z=-1$ ，または(ハ) $x=y$

(イ) $z=0$ のとき，①によって $x=0$ ，②によって $y=0$
ゆえに $x=0$ ， $y=0$ ， $z=0$
$\fbox{となり，これは③を満たすので}$ 解の $1$ つである．

(ロ) $z=-1$ のとき，①によって $x=0$ ，②によって $y=0$
ゆえに $x=0$ ， $y=0$ ， $z=-1$
$\fbox{となり，これは③を満たさないので不適}$ である．

$z=-(y+2)$ であったから， $\displaystyle z=\fbox{$\dfrac{-1\mp\sqrt{5}}{2}$}$
ゆえに $\displaystyle x=\dfrac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$ ， $\displaystyle y=\dfrac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$ ，
$\displaystyle z=\fbox{$\dfrac{-1\mp\sqrt{5}}{2}$}$ (複号同順)も解である．