以下の内容はhttps://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1963/Rikei_1より取得しました。

1963年(昭和38年)京都大学-数学(理系(A型))[1]

2026.01.16.15:21:58記

[1](イ) 方程式 $x^2-(a+c)x+(ac-b^2)=0$ は実根をもつことを示せ．

(ロ) 上の根を $\alpha$ ， $\beta$ $(\alpha\leqq\beta)$ とし，また
$\gamma=\dfrac{a+c}{2}-\dfrac{(a-c)(p^2-q^2)+4bpq}{2(p^2+q^2)}$
とするとき，つねに $\alpha\leqq\gamma\leqq\beta$ が成り立つかどうかを調べよ．

(イ)，(ロ)において， $a$ ， $b$ ， $c$ ， $p$ ， $q$ は任意の実数で， $p$ ， $q$ の少なくも一方は $0$ でないとする．

2026.01.16.15:36:38記

[解答]
$f(x)=x^2-(a+c)x+(ac-b^2)=0$ とおく．

(イ) $f(x)=0$ の判別式は $(a-c)^2+4b^2\geqq 0$ であるから実数解を持つ．

(ロ) $p^2+q^2\neq 0$ であるから $p=\sqrt{p^2+q^2}\cos\theta$ ， $q=\sqrt{p^2+q^2}\sin\theta$ と書くことができ，このとき
$\gamma=\dfrac{a+c}{2}-\dfrac{(a-c)\cos2\theta+2b\sin2\theta}{2}$ $=\dfrac{a+c+\sqrt{(a-c)^2+4b^2}\cos(2\theta+\varphi)}{2}$
を満たす $\varphi$ が存在し，よってつねに
$\alpha=\dfrac{a+c-\sqrt{(a-c)^2+4b^2}}{2}$ $\leqq\gamma$ $\leqq\beta=\dfrac{a+c+\sqrt{(a-c)^2+4b^2}}{2}$
が成り立つ．

(イ)は $f(a)=-b^2\leqq 0$ と $f(+\infty)=+\infty$ からもわかります．

以上の内容はhttps://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1963/Rikei_1より取得しました。
このページはhttp://font.textar.tv/のウェブフォントを使用してます

不具合報告/要望等はこちらへお願いします。
モバイルやる夫Viewer Ver0.14