https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1963/Rikei

2026.01.16.15:21:58記

[1]（10点+25点）(イ) 方程式 $x^2-(a+c)x+(ac-b^2)=0$ は実根をもつことを示せ．

(ロ) 上の根を $\alpha$ ， $\beta$ $(\alpha\leqq\beta)$ とし，また
$\gamma=\dfrac{a+c}{2}-\dfrac{(a-c)(p^2-q^2)+4bpq}{2(p^2+q^2)}$
とするとき，つねに $\alpha\leqq\gamma\leqq\beta$ が成り立つかどうかを調べよ．

(イ)，(ロ)において， $a$ ， $b$ ， $c$ ， $p$ ， $q$ は任意の実数で， $p$ ， $q$ の少なくも一方は $0$ でないとする．

[2]（35点） $\triangle\mbox{ABC}$ と $\triangle\mbox{DEF}$ において， $\mbox{AB}=\mbox{DE}$ とし，それぞれの外接円の半径は等しく，また内接円の半径も等しいとする．そのとき $2$ つの三角形は合同になるか，理由をつけて答えよ．

[3]（30点）連立方程式
$xz=x+z^2+z$ ……①
$yz=y+z^2+z$ ……②
$z^3+yz^2+2z^2+xz-yz=0$ ……③
を解くのに，A君はつぎのようにして， $4$ 組の解をえた．この答案は正しいかどうか判定し，正しくないならば，どこをどう直せばよいか，A君の答案に加筆訂正せよ．

A君の答案
① $\times y -$ ② $\times x$
$(y-x)z(z+1)=0$
ゆえに，(イ) $z=0$ ，または(ロ) $z=-1$ ，または(ハ) $x=y$

(イ) $z=0$ のとき，①によって $x=0$ ，②によって $y=0$
ゆえに $x=0$ ， $y=0$ ， $z=0$ は解の $1$ つ
である．

(ロ) $z=-1$ のとき，①によって $x=0$ ，②によって $y=0$
ゆえに $x=0$ ， $y=0$ ， $z=-1$ は解の $1$ つである．

(ハ) $x=y$ のとき，③から $z^3+yz^2+2z^2=0$
$z=0$ は(イ)で既に吟味したから， $z \neq 0$ とすれば，上式から
$z+y+2=0$ すなわち $z=-(y+2)$
これを②に代入して， $-y(y+2)=y+(y+2)^2-(y+2)$
∴ $2y^2+6y+2=0$ ，すなわち $y^2+3y+1=0$ ∴ $\displaystyle y=\dfrac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$

$z=-(y+2)$ であったから， $\displaystyle z=\dfrac{-7\mp\sqrt{5}}{2}$
ゆえに $\displaystyle x=\dfrac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$ ， $\displaystyle y=\dfrac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$ ，
$\displaystyle z=\dfrac{-7\mp\sqrt{5}}{2}$ (複号同順)も解である．

[4]（15点+15点）三角形 $\mbox{ABC}$ の辺上を動く点 $\mbox{D}$ ， $\mbox{E}$ ， $\mbox{F}$ が，時刻 $t=0$ にそれぞれ $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ を出発し， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ ， $\mbox{A}$ にむかってそれぞれ一定の速さで進んで，時刻 $t=1$ に $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ ， $\mbox{A}$ に達するものとする．

(イ) その間 $\triangle\mbox{DEF}$ の重心は動かないことを示せ．

(ロ) $\triangle\mbox{DEF}$ の面積の最小値は $\triangle\mbox{ABC}$ の面積の何倍か．

[5]（10点+10点+15点）与えられた三角形 $\mbox{OP}_0\mbox{P}_1$ において， $\mbox{OP}_0=a$ ， $\angle \mbox{OP}_0\mbox{P}_1=\alpha$ ， $\angle \mbox{P}_0\mbox{OP}_1=\theta$ とし，つぎつぎに相似三角形
$\triangle\mbox{OP}_0\mbox{P}_1$ ∽ $\triangle\mbox{OP}_1\mbox{P}_2$ ∽ $\cdots\cdots$ ∽ $\triangle\mbox{OP}_n\mbox{P}_{n+1}$ ∽ $\cdots\cdots$
を作っていく．

(イ) $n$ を限りなく大きくするとき， $\mbox{P}_n$ が定点 $\mbox{O}$ に限りなく近づくための必要十分条件を $\theta$ ， $\alpha$ で表わせ．

「(イ)が成り立つとして，(ロ)，(ハ)に答えよ」

(ロ) $\mbox{S} = \triangle\mbox{OP}_0\mbox{P}_1 + \triangle\mbox{OP}_1\mbox{P}_2 + \cdots\cdots + \triangle\mbox{OP}_n\mbox{P}_{n+1} + \cdots\cdots$ の値は， $\triangle\mbox{OP}_0\mbox{P}_1$ の何倍であるか，それを $\theta$ と $\alpha$ で表わせ．ここに， $\triangle\mbox{OP}_n\mbox{P}_{n+1}$ は面積を表わす．

(ハ) $\mbox{L}=\mbox{P}_0\mbox{P}_1+\mbox{P}_1\mbox{P}_2+\cdots\cdots+\mbox{P}_n\mbox{P}_{n+1}+\cdots\cdots$ の値を求めよ．また $a$ ， $\alpha$ を固定したまま， $\theta$ を限りなく $0$ に近づけたとき， $\mbox{L}$ はどんな値に近づくか．

[6]（35点） $\displaystyle 0\lt x\lt \dfrac{\pi}{4}$ のとき， $\displaystyle \int_0^x \cos t dt \gt 2 \int_0^x \sin t dt$ を証明せよ．

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