https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1963/Bunkei

2026.01.16.15:24:08記

[6] 定点 $(a，0)$ を通る直線が定円 $x^2+y^2=r^2$ と $2$ 点で交わるとし，その $2$ 点における円の $2$ つの接線の交点を $\mbox{P}$ とする．直線が上の条件をみたしながら動くとき， $\mbox{P}$ の軌跡を求めよ．（ $r\gt 0$ ， $a\gt 0$ ）

本問のテーマ

（二次曲線の）極と極線

2026.01.19.11:44:04記

[解答]
異なる $2$ つの接点を $(x_1，y_1)$ ， $(x_2，y_2)$ とおき， $\mbox{P}(X，Y)$ とおく．このとき $2$ つの接線の方程式は
$\begin{cases} x_1x+y_1y=r^2，\\ x_2x+y_2y=r^2\end{cases}$
であり，この $2$ 直線の交点が $\mbox{P}$ であることから
$\begin{cases} x_1X+y_1Y=r^2，\\ x_2X+y_2Y=r^2\end{cases}$
が成立する．この式は $Xx+Yy=r^2$ 上に $2$ つの接点があるという式と解釈することができるので，これは異なる $2$ つの接点 $(x_1，y_1)$ ， $(x_2，y_2)$ を通る直線が $Xx+Yy=r^2$ であることを示しており，この直線が定点 $(a，0)$ を通ることから $X=\dfrac{r^2}{a}$ が成立する．

つまり， $\mbox{P}$ は常に直線 $x=\dfrac{r^2}{a}$ 上にあることがわかる．そして $\mbox{P}$ から定円に $2$ つの接線が引けなければならないことから，求める軌跡は「直線 $x=\dfrac{r^2}{a}$ 上で円 $x^2+y^2=r^2$ の外部（周を除く）」となる．

ここで $Y^2\gt r^2-\dfrac{r^4}{a^2}=\dfrac{r^2(a^2-r^2)}{a^2}$ であるから，

(i) $a\lt r$ ならば直線 $x=\dfrac{r^2}{a}$ 全体

(ii) $r\leqq a$ ならば直線 $x=\dfrac{r^2}{a}$ のうち $|y|\gt \dfrac{r\sqrt{a^2-r^2}}{a}$ の部分（ $2$ 本の半直線）

となる．