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1962年(昭和37年)京都大学-数学(理系(A型))[6]

2026.01.14.23:39:02記

[6] 放物線 $y=4-x^2$ の第1象限にある部分と，この部分へ点 $(a，0)$ から引いた接線と， $x$ 軸とで囲まれる範囲の面積を計算せよ．ただし， $a\gt 2$ とする．

2026.01.15.00:10:51記

[解答]
$y=4-x^2$ 上の点 $(t，4-t^2)$ における接線 $y=-2t(x-t)+4-t^2=-2tx+t^2+4$ と $x$ 軸の交点が $(a，0)$ であるから $t^2-2at+4=0$ ，つまり $t=a-\sqrt{a^2-4}$ （∵ $t\lt a$ ）が成立し，求める面積 $S$ を $a，t$ で表すと
$S=\dfrac{1}{3}(2-t)^3+t(a-2)^2$
となるので求める面積は
$S=\dfrac{1}{3}(2-a+\sqrt{a^2-4})^3+(a-\sqrt{a^2-4})(a-2)^2$
$=\dfrac{(2-a)^3}{3}$ $+(2-a)^2\sqrt{a^2-4}$ $+(2-a)(a^2-4)$ $+\dfrac{\sqrt{a^2-4}^3}{3}$ $+a(a-2)^2$ $-\sqrt{a^2-4}(2-a)^2$
$=\dfrac{(2-a)^3}{3}$ $+(2-a)(a^2-4)$ $+\dfrac{\sqrt{a^2-4}^3}{3}$ $+a(a-2)^2$
$=-\dfrac{a^3}{3}$ $+4a$ $-\dfrac{16}{3}$ $+\dfrac{(a^2-4)\sqrt{a^2-4}}{3}$
となる．

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