https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1962/Rikei

2026.01.14.23:39:02記

[5] (イ) すべての実数 $x$ に対して定義された函数
$f(x)=\sqrt{2}a\pi x+\cos\pi x+\sin\pi x$ （ $a\mbox{は正の定数}$ ）
が極値（極大値または極小値）をもつために，正の定数 $a$ の満たすべき条件を求めよ．

(ロ) この条件が満たされているとき，曲線 $y=f(x)$ の上で， $f(x)$ が極大値をとる点は，すべて $1$ つの直線上に等間隔に並んでいることを示せ．

2026.01.14.23:46:19記

[解答]
(イ)　 $f'(x)=\sqrt{2}a\pi +\pi (\cos\pi x-\sin\pi x)$ $=\sqrt{2}\pi\left\{a +\cos\left(\pi x+\dfrac{\pi}{4}\right)\right\}$ が $0$ となり，その前後で符号を変えるために必要十分条件は $|a|\lt 1$ であり， $a\gt 0$ より $0\lt a\lt 1$ となる．

(ロ) $f'(x)$ は周期2の余弦関数を縦軸方向に移動したものであるから，横軸とは一周期で2回交わり，符号を正から負に変えるものと負から正に変えるものとが一周期に一つずつ存在するので，極大値を与える $x$ は $x=p+2n$ と一般的に書くことができ，このとき
$f(p+2n)-f(p)=\sqrt{2}a\pi\cdot 2n$
が成立するので，極大値をとる点は全て直線 $y=\sqrt{2}a(x-p)+f(p)$ 上にあり， $x$ 座標が $x=p+2n$ （ $n$ は整数）と等間隔に並んでいるので，曲線 $y=f(x)$ の上で， $f(x)$ が極大値をとる点は，すべて $1$ つの直線上に等間隔に並んでいる．