https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1962/Rikei

2026.01.14.23:39:02記

[4] $a$ ， $b$ ， $c$ は与えられた正の定数で， $a\lt b\lt c$ であるとする． $-\infty \lt x \leqq c$ の範囲で，3次函数 $y=x(x-a)(b-x)$ のグラフが，2次函数 $y=px^2-qx$ のグラフの下側に出ないように，正の定数 $p$ ， $q$ の値を求めることができるかどうかを吟味せよ．

2026.01.14.23:25:28記

[解答]
$-\infty \lt x \leqq c$ で $f(x)=x(x-a)(b-x)-(px^2-qx)=-x^3+(a+b-p)x^2-(ab-q)x$ が常に非負であるように，正の定数 $p$ ， $q$ の値を求めることができるかどうかを吟味すれば良い．

$x=0$ は $-\infty \lt x \leqq c$ に含まれることと $f(0)=0$ であることから，3次式 $f(x)$ は $x=0$ で極小値をとる必要がある．このとき $f'(0)=0$ から $q=ab$ が必要で，このとき $f(x)=-x^3+(a+b-p)x^2$ が $x=0$ の付近で非負となるためには $a+b-p\gt 0$ となることが必要十分である．

このとき， $f(x)\geqq 0$ と $x\leqq a+b-p$ は同値となるので題意を満たすためには $c\leqq a+b-p$ を満たすことが必要十分である．つまり， $q=ab$ ， $0\lt c\leqq a+b-p$ を満たせば良い．この条件を満たす $p$ が存在するような $a，b，c$ の条件は $a+b\gt c$ であり， $a，b，c$ が $a+b\gt c$ を満たすとき， $0\lt p\leqq a+b-c$ を満たす正数 $p$ ， $q=ab$ を満たす正数 $q$ が存在する．

$q=ab$ を導いた後，不等式 $f(x)=-x^2\{x-(a+b-p)\}\geqq 0$ は $-x^2\leqq 0$ から

（ $x\neq 0$ で） $x-(a+b-p)\leqq 0$

と同値であることがわかり， $c-(a+b-p)\leqq 0$ を導くことができます．