https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1962/Rikei

2026.01.13.23:39:02記

[1] $3$ 角形 $\mbox{ABC}$ の内部に点 $\mbox{M}$ が与えられ，この $3$ 角形の周の上に両端 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ をもつ線分 $\mbox{PQ}$ を引いて，この線分が $\mbox{M}$ で二等分されるようにする． $3$ 角形 $\mbox{ABC}$ のどんな部分に $\mbox{M}$ が与えられたとき，そのような線分が何本引けるか，その違いを明らかにし，理由を述べよ．

2026.01.14.09:09:15記

[解答]
$\mbox{P}，\mbox{Q}$ がそれぞれ線分 $\mbox{AB}，\mbox{AC}$ 上にある場合について考える．
$\overrightarrow{\mbox{AB}}=\vec{b}$ ， $\overrightarrow{\mbox{AC}}=\vec{c}$ とし， $\overrightarrow{\mbox{AP}}=p\vec{b}$ ， $\overrightarrow{\mbox{AQ}}=q\vec{c}$ とすと， $\overrightarrow{\mbox{AM}}=\dfrac{p}{2}\vec{b}+\dfrac{q}{2}\vec{c}$ を満たす $0\leqq \dfrac{p}{2}\leqq\dfrac{1}{2}$ ， $0\leqq \dfrac{q}{2}\leqq\dfrac{1}{2}$ が存在するような $\mbox{M}$ の範囲は，線分 $\mbox{BC}，\mbox{CA}，\mbox{AB}$ の中点を $\mbox{L}，\mbox{M}，\mbox{N}$ とすると平行四辺形 $\mbox{ANLM}$ の周または内部（ $\triangle\mbox{ABC}$ の内部なので辺 $\mbox{AN}$ ， $\mbox{AM}$ （それぞれ両端を含む）は除く）である．

同様に考えることにより， $\mbox{M}$ が $\triangle\mbox{LMN}$ の内部のとき $3$ 本，
$\mbox{M}$ が $\triangle\mbox{LMN}$ の頂点を除く周上のとき $2$ 本，
$\mbox{M}$ が $\triangle\mbox{LMN}$ の外部（で $\triangle\mbox{ABC}$ の内部のとき $1$ 本となる．