1962年(昭和37年)京都大学-数学(理系(A型))

[1] 角形 の内部に点 が与えられ，この 角形の周の上に両端 ， をもつ線分 を引いて，この線分が で二等分されるようにする． 角形 のどんな部分に が与えられたとき，そのような線分が何本引けるか，その違いを明らかにし，理由を述べよ．

[2](イ) ， は でない与えられた実数とする． が でないどんな実数値をとっても，円 は つの定点を通ることを示せ．

(ロ) これらの円の中心の軌跡を ， の方程式で表わせ．

[3] 定円 の内部に2定点 ， があり，点 はこの円周上を動いていく． と ， と を結ぶ2直線が円周とふたたび交わる点を，それぞれ ， とする．また， から直線 に平行に引いた直線が円周とふたたび交わる点を とする．このとき，直線 は つの定点を通ることを証明せよ．

[4] ，， は与えられた正の定数で， であるとする． の範囲で，3次函数 のグラフが，2次函数 のグラフの下側に出ないように，正の定数 ， の値を求めることができるかどうかを吟味せよ．

[5] (イ) すべての実数 に対して定義された函数
（）
が極値（極大値または極小値）をもつために，正の定数 の満たすべき条件を求めよ．

(ロ) この条件が満たされているとき，曲線 の上で， が極大値をとる点は，すべて つの直線上に等間隔に並んでいることを示せ．

[6] 放物線 の第1象限にある部分と，この部分へ点 から引いた接線と， 軸とで囲まれる範囲の面積を計算せよ．ただし， とする．