https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1962/Bunkei

2026.01.14.23:41:54記

[6] 条件 $\mbox{AB}=\mbox{A}'\mbox{B}'=\mbox{A}''\mbox{B}''=p \cdot \mbox{AC}=p \cdot \mbox{A}'\mbox{C}'=p \cdot \mbox{A}''\mbox{C}''$ ， $\angle \mbox{A}=\pi/2$ ， $\angle \mbox{A}'+\angle \mbox{A}''=\pi$ ， $\angle \mbox{A}'\lt \pi/2$ ， $\mbox{B}''\mbox{C}''-\mbox{BC}=p(\mbox{BC}-\mbox{B}'\mbox{C}')$ を満たすような $3$ つの $3$ 角形 $\mbox{ABC}$ ， $\mbox{A}'\mbox{B}'\mbox{C}'$ ， $\mbox{A}''\mbox{B}''\mbox{C}''$ が存在するための $p$ の値の範囲を求めよ．

2026.01.16.13:07:33記
$t=\tan\dfrac{\theta}{2}$ のとき， $\cos\theta=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$ ， $\sin\theta=\dfrac{2t}{1+t^2}$ です．

[うまい解答]
条件は図形の相似拡大によらず， $\triangle\mbox{ABC}$ は直角三角形であるから， $\mbox{BC}=1$ ， $\mbox{AC}=\cos u$ ， $\mbox{AB}=\sin u$ （ $u$ は鋭角）とおくことができ，このとき $p=\tan u$ である．

$\angle\mbox{A}'=\theta$ （ $\theta$ は鋭角）とおき， $\mbox{B}'\mbox{C}'=a'$ ， $\mbox{B}''\mbox{C}''=a''$ とおく．

$\triangle\mbox{A}'\mbox{B}'\mbox{C}'$ ， $\triangle\mbox{A}''\mbox{B}''\mbox{C}''$ に余弦定理を用いると
$(a’)^2=1-2\cos u\sin u\cos\theta=1-\sin 2u\cos\theta$ …②， $(a'’)^2=1+\sin 2u\cos\theta$ ……③
が成立し，問題文から
$a''-1=(1-a')\tan u$ …④
が成立する．②③から
$(a’')^2-1=1-(a’)^2$ …⑤，
が成立するので④⑤から $(a''+1)\tan u=1+a'$ …⑥ が成立し，よって④⑥から $a''$ を消去すると $2\tan u=1-\tan^2 u+(1+\tan^2 u)a'$ ，つまり
$a'=\sin2u-\cos 2u$
が成立し，同様に $a''=\sin2u+\cos 2u$ が成立する．よって②より $(\sin2u-\cos 2u)^2=1-\sin 2u\cos\theta$ ，つまり
$\cos\theta=2\cos 2u$ …⑦
が成立する．このような鋭角 $\theta$ が存在する鋭角 $u$ の範囲は $0\lt \cos 2u\lt\dfrac{1}{2}$ ，つまり $\dfrac{\pi}{6}\lt u\lt\dfrac{\pi}{4}$ となる．以上から求める $p$ の範囲は $\dfrac{1}{\sqrt{3}}\lt p=\tan u \lt 1$ …⑧ となる．

逆に⑧が成り立つとき， $u$ ， $\theta$ は⑦を満たす鋭角であり， $\dfrac{\pi}{3}\lt 2u]t\dfrac{\pi}{2}$ kara $0\lt \cos 2u\lt \sin 2u$ となるので $a'，a''$ は正の値として得られ余弦定理②③を満たすので $\triangle\mbox{A}'\mbox{B}'\mbox{C}'$ ， $\triangle\mbox{A}''\mbox{B}''\mbox{C}''$ が存在し，直角三角形 $\triangle\mbox{ABC}$ も確かに存在する．

$p=\tan u$ と置くのが [うまい解答] である理由ですが， $p$ のまま計算しても
$\cos\theta=\dfrac{(p^2+2p-1)^2-(p^2+1)^2}{(p^2+1)^2}\cdot\dfrac{1+p^2}{2p}$ $=\dfrac{2(p^2-1)}{p^2+1}$
となり，このような鋭角 $\theta$ が存在する $p$ の条件は $0\lt 2p^2-2 \lt p^2+1$ ，つまり $\dfrac{1}{\sqrt{3}}\lt p\lt 1$ となる，という程度でそれほど面倒ではありません．

「3つの三角形が存在する」
⇔「②③④を満たす鋭角 $u$ ，鋭角 $\theta$ ，長さ $a'$ ，長さ $a''$ が存在する」
⇔「③④⑤を満たす鋭角 $u$ ，鋭角 $\theta$ ，長さ $a'$ ，長さ $a''$ が存在する」
⇔「③④⑥を満たす鋭角 $u$ ，鋭角 $\theta$ ，長さ $a'$ ，長さ $a''$ が存在する」
⇔「③④， $a'=\sin 2u-\cos 2u\gt 0$ を満たす鋭角 $u$ ，鋭角 $\theta$ ，長さ $a''$ が存在する」
⇔「③， $a'=\sin 2u-\cos 2u\gt 0$ ， $a''=\sin 2u+\cos 2u$ を満たす鋭角 $u$ ，鋭角 $\theta$ が存在する」
⇔「⑦， $a'=\sin 2u-\cos 2u\gt 0$ ， $a''=\sin 2u+\cos 2u$ を満たす鋭角 $u$ ，鋭角 $\theta$ が存在する」

となるので，⑦を満たす鋭角 $\theta$ が存在し， $a'\gt 0$ となるような鋭角 $u$ の条件を求めれば良いということになります．[うまい解答] では⑦から得られた $u$ が $\sin 2u\gt \cos 2u$ を満たすことから $a'\gt 0$ であることがわかります．