https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1962/Bunkei

2026.01.14.23:41:54記

[5] 各点 $\mbox{P}(x，y)$ に対して実数値 $z$ をさだめようとするのに，2次方程式
$z^2+(a+x)z+\dfrac{1}{4}(x^2-y^2)=0$ （ $a$ は正の定数）
が異なる2実根をもつ場合には大きい方の根の値を採ることにし，他の場合には $z$ の値を定めないことにする．こうして，正の値 $z$ が定まるような点 $\mbox{P}$ の範囲を明らかにし，この範囲をできるだけ正確に図示せよ．

本問のテーマ

2次方程式の解の配置
包絡線

2026.01.15.10:25:12記
「できるだけ正確に」というのは「境界を含むか含まないかがわかるように」ということと，「図は丁寧に描くように」ということぐらいの意味でしょう．

$z\gt 0$ における双曲線 $z^2+(a+x)z+\dfrac{1}{4}(x^2-y^2)=0$ の通過範囲を求めれば良く， $2z+a+x=0$ から，包絡線である放物線 $2ax+a^2-y^2=0$ が得られますが，曲線が動く場合，通過領域を正確に定めるのは慣れないと少し難しいです．

[解答]
$z^2+(a+x)z+\dfrac{1}{4}(x^2-y^2)=0$ （ $a$ は正の定数）が相異2実解をもち，そのうち少なくとも1つが正となる条件を求めれば良い．

(i) 正負1つずつもつとき：
$x^2-y^2\lt 0$ である．

(ii) 正と0となるとき：
$x^2-y^2=0$ （ $y=\pm x$ ）かつ $a+x\lt 0$ 　である．

(iii) 相異なる2つの正の解となるとき：
判別式から $(a+x)^2-(x^2-y^2)=2ax+a^2+y^2\gt 0$ ，軸から $a+x\lt 0$ ，端点から $x^2-y^2\lt 0$ である．

(i)〜(iii) を整理すると，
$\begin{cases} |y|\gt \sqrt{-2ax-a^2} & (x\leqq -a) \\ |y|\gt |x| & (-a\leqq x) \end{cases}$
となり，これを図示すれば良い（図示略）．

(i)〜(iii) を $y$ について整理すると，
$\begin{cases} -\dfrac{y^2+a^2}{2}\lt x\lt y & (|y|\gt a) \\ -y\lt x\lt y & (a\lt |y|) \end{cases}$
となります．

[解答]
異なる2実解をもつので，判別式から $(a+x)^2-(x^2-y^2)\gt 0$ ，つまり
$x\gt -\dfrac{y^2+x^2}{2}$ …① であり，このとき解の公式から
$z=\dfrac{-(a+x)+\sqrt{2ax+a^2+y^2}}{2}\gt 0$
となれば良い．

(i) $a+x\leqq 0$ のとき：①のもとでは $z\gt 0$ となる．

(ii) $a+x\gt 0$ のとき：①のもとでは $2ax+a^2+y^2\gt (a+x)^2$ から $|y|\gt |x|$ となる．

（以下略）