1962年(昭和37年)京都大学-数学(文系)

[1] 角形 の内部に点 が与えられ，この 角形の周の上に両端 ， をもつ線分 を引いて，この線分が で二等分されるようにする． 角形 のどんな部分に が与えられたとき，そのような線分が何本引けるか，その違いを明らかにし，理由を述べよ．

[2](イ) ， は でない与えられた実数とする． が でないどんな実数値をとっても，円 は つの定点を通ることを示せ．

(ロ) これらの円の中心の軌跡を ， の方程式で表わせ．

[3] 定円 の内部に2定点 ， があり，点 はこの円周上を動いていく． と ， と を結ぶ2直線が円周とふたたび交わる点を，それぞれ ， とする．また， から直線 に平行に引いた直線が円周とふたたび交わる点を とする．このとき，直線 は つの定点を通ることを証明せよ．

[4] ，， は与えられた正の定数で， であるとする． の範囲で，3次函数 のグラフが，2次函数 のグラフの下側に出ないように，正の定数 ， の値を求めることができるかどうかを吟味せよ．

[5] 各点 に対して実数値 をさだめようとするのに，2次方程式
（ は正の定数）
が異なる2実根をもつ場合には大きい方の根の値を採ることにし，他の場合には の値を定めないことにする．こうして，正の値 が定まるような点 の範囲を明らかにし，この範囲をできるだけ正確に図示せよ．

[6] 条件 ，，，， を満たすような つの 角形 ，， が存在するための の値の範囲を求めよ．