https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1961/Rikei

2025.12.30.08:58:51記

[6] 点 $\mbox{A}$ が速度 $u=t^2+5\mbox{cm}/\mbox{秒}$ で一直線上をうごいている．この直線上を， $\mbox{A}$ が出発すると同時に点 $\mbox{B}$ が $\mbox{A}$ の前方 $2\mbox{cm}$ の距離の点から出発し，速度 $v=5t\mbox{cm}/\mbox{秒}$ でうごくとする．
ここに， $t$ 秒は $\mbox{A}$ が出発してからの時間である． $0 \leqq t \leqq 4$ の範囲で $\mbox{A}$ と $\mbox{B}$ は何回かさなるか．

2026.01.07.17:48:44記

[解答]
時刻 $t$ における $\mbox{A}，\mbox{B}$ の位置は，時刻 $0$ におけるそれぞれの位置を $0，2$ とすると
$\dfrac{t^3}{3}+5t$ ， $=\dfrac{5t^2}{2}+2$ となる．

よって， $0\leqq t\leqq 4$ における $f(t)=\dfrac{t^3}{3}-\dfrac{5t^2}{2}+5t-2$ の解の個数を求めれば良い．

$g(t)=6f(t)=2t^3-15t^2+30t-12$ とおくと， $g(0)=-12\lt 0$ ， $g(1)=5\gt 0$ ， $g(4)=-4\lt 0$ ， $\displaystyle\lim_{t\to+\infty} g(t)=+\infty$ であるから， $g(t)=0$ を満たす $t$ は
$0\lt t\lt 1$ ， $1\lt t\lt 4$ ， $4\lt t$ の範囲に1つずつ存在する．よって求める回数は $2$ 回である．

三次方程式の実数解は高々 $3$ 個なので，それらを特定すれば全ての解を特定したことになります．