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1961年(昭和36年)京都大学-数学(理系)[5]

2025.12.30.08:58:51記

[5] $n$ が整数であるとき $S=|n-1|+|n-2|+\cdots\cdots+|n-100|$ の最小値を求めよ．また，そのときの $n$ の値を求めよ．

2026.01.07.17:35:03記

[大人の解答]（？）
$1$ から $100$ までの中央値を考えて， $n=50$ または $51$ のときに最小値
$2(1+2+\cdots+49)+50$ $=2(1+2+\cdots+49+50)-50$ $=50\times 51 - 50 = 50^2=2500$
をとる．

どちらかと言うと， $\displaystyle\sum_{i=1}^n |x-a_i|$ の最小値が $a_1，…，a_n$ の中央値となることの証明をさせる問題です．

[解答]
一般に $p\lt q$ のとき $|x-p|+|x-q|\geqq q-p$ （等号は $p\leqq x\leqq q$ ）が成立するので，
$|x-1|+|x-2|+\cdots\cdots+|x-100|$ $=(|x-1|+|x-100|)+(|x-2|+|x-99|)$ $+\cdots\cdots+(|x-50|+|x-51|)$ $\geqq 99+97+\cdots +1=25^2=2500$
（等号成立は $50\leqq x\leqq 51$ ）が成立する．

よって $x$ を整数とすれば， $S$ は $n=50，51$ のときに最小値 $2500$ をとる．

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