https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1961/Rikei

2025.12.30.08:58:51記

[3] 同一平面上で，二点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ をとおる直線の一方の側に二点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ があって，
ともに $\mbox{AB}$ の中点 $\mbox{M}$ から $a$ の距離にあり， $\mbox{PM}$ は $\mbox{AB}$ に垂直であるとする．
$\angle\mbox{APB}=\alpha$ ， $\angle\mbox{AQB}=\beta$ ， $\angle\mbox{PMQ}=\theta$ ， $\mbox{AM}=r$
とおき， $\alpha$ は直角でないとする．

(i) $\tan\alpha$ を $r$ と $a$ であらわせ．

(ii) $\tan\alpha\cdot\cos\theta=\tan\beta$ を示せ．

2026.01.07.17:15:02記

[解答]
(i) $\tan\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{r}{a}$ であるから $\tan\alpha=\dfrac{2ar}{a^2-r^2}$ となる．

(ii) $\triangle\mbox{QAB}$ で余弦定理を用い，中線定理を用いると $4r^2=\mbox{QA}^2+\mbox{QB}^2-2\mbox{QA}\cdot\mbox{QB}\cos\beta$ $=2a^2+2r^2-2\mbox{QA}\cdot\mbox{QB}\cos\beta$ ，つまり $\mbox{QA}\cdot\mbox{QB}\cos\beta=a^2-r^2$ となる．また $\triangle\mbox{QAB}$ の面積を $S_{\rm Q}$ とすると $S_{\rm Q}=\dfrac{1}{2}\mbox{QA}\cdot\mbox{QB}\sin\beta$ となる．よって $\tan\beta=\dfrac{\sin\beta}{\cos\beta}=\dfrac{2S_{\rm Q}}{a^2-r^2}$ となる．同様に $\triangle\mbox{PAB}$ の面積を $S_{\rm P}$ とすると $\tan\alpha=\dfrac{2S_{\rm P}}{a^2-r^2}$ となる．ここで $\triangle\mbox{PAB}$ と $\triangle\mbox{QAB}$ の $\mbox{AB}$ を底辺とみたときの高さはそれぞれ $a$ ， $a\cos\theta$ であるから， $S_{\rm Q}=S_{\rm P}\cos\theta$ となり，よって $\tan\alpha\cdot\cos\theta=\tan\beta$ となる．