https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1961/Bunkei

2025.12.30.09:02:24記

[6] 直角二等辺三角形 $\mbox{ABC}$ の直角頂 $\mbox{A}$ をとおって $\mbox{BC}$ に平行線をひき，その上に一点 $\mbox{D}$ をとり， $\mbox{BD}=\mbox{BC}$ となるようにする．

(i) $\angle \mbox{ABD}$ は何度か．

(ii) $\mbox{BD}$ ， $\mbox{AC}$ の交点を $\mbox{E}$ とし， $\mbox{BC}$ に関する $\mbox{D}$ の対称点を $\mbox{F}$ とすれば， $\mbox{EF}$ は $\mbox{DC}$ に平行であることを証明せよ．

2026.01.08.05:25:58記
$\mbox{D}$ は二箇所考えられることに注意しましょう．

[解答]
$\mbox{D}$ から $\mbox{BC}$ に下した垂線の足を $\mbox{H}$ とすると $\mbox{BD}=2\mbox{BH}$ となるので $\angle\mbox{DBC}=30^{\circ}$ となる．

(a) $\mbox{D}$ が $\mbox{A}$ より $\mbox{C}$ 側にあるとき，
(b) $\mbox{D}$ が $\mbox{A}$ より $\mbox{B}$ 側にあるとき

の二通り考えることができる．

(i) (a) $\angle \mbox{ABD}=45^{\circ}-30^{\circ}=15^{\circ}$ となる．
(b) $\angle \mbox{ABD}=180^{\circ}-45^{\circ}-30^{\circ}=105^{\circ}$ となる．

(ii) (a) $\angle\mbox{DEC}=180^{\circ}-75^{\circ}-(75^{\circ}-45^{\circ})=75^{\circ}$ ，
$\angle\mbox{CFB}=\angle\mbox{CDB}=75^{\circ}$ により， $\mbox{B}$ ， $\mbox{F}$ ， $\mbox{C}$ ， $\mbox{E}$ は同一円周上にあるので $\angle\mbox{CEF}=\angle\mbox{CBF}=30^{\circ}=\angle\mbox{ECD}$ となり， $\mbox{EF}$ は $\mbox{DC}$ に平行である．

(b) $\angle\mbox{BEC}=\angle\mbox{DEC}=180^{\circ}-30^{\circ}-(90^{\circ}+45^{\circ})=15^{\circ}$ ，
$\angle\mbox{CFB}=\angle\mbox{CDB}=\dfrac{1}{2}\angle\mbox{DBH}=15^{\circ}$ により， $\mbox{B}$ ， $\mbox{F}$ ， $\mbox{E}$ ， $\mbox{C}$ は同一円周上にあるので $\angle\mbox{CEF}=180^{\circ}-\angle\mbox{CBF}$ $=30^{\circ}$ $=\angle\mbox{ACB}-\angle\mbox{DCB}$ $=\angle\mbox{ACD}$ となり， $\mbox{EF}$ は $\mbox{DC}$ に平行である．