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1961年(昭和36年)京都大学-数学(文系)[5]

2025.12.30.09:02:24記

[5] 連立方程式 $x+y=a$ ， $x^2+y^2=b^2$ の根 $x$ ， $y$ がいずれも $-1$ と $1$ とのあいだ（ $-1$ と $1$ をふくむ）にあるためには， $(a，b)$ を座標とする点はどのような範囲にあるか，図示せよ．

2026.01.07.18:42:57記

[解答]
$x+y=a$ ， $xy=\dfrac{a^2-b^2}{2}$ により， $t$ についての2次方程式
$f(t)=2t^2-2at+a^2-b^2=0$ の2解がともに $-1\leqq t\leqq1$ を満たせば良い．

判別式から $2b^2-a^2\geqq 0$ ，つまり $\dfrac{|a|}{\sqrt{2}}\leqq |b|$ となる．

軸から $-2\leqq a\leqq 2$ ，つまり $|a|\leqq 2$ となる．

端点から $f(1)=2-2a+a^2-b^2=(a-1)^2-b^2+1\geqq 0$ ， $f(-1)=2+2a+a^2-b^2=(a+1)^2-b^2+1\geqq 0$ ，つまり
$|b|\leqq \sqrt{1+(|a|-1)^2}$ となる．

整理すると $\dfrac{|a|}{\sqrt{2}}\leqq |b|\leqq \sqrt{1+(|a|-1)^2}$ となる（図示略）．

$ab$ -平面において第一象限で直線 $b=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$ より上側で，双曲線 $(a-1)^2-b^2=-1$ の $b\gt0$ の部分よりも下側の領域となります（直線と双曲線は $(2，\sqrt{2})$ で接します）．

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