1961年(昭和36年)京都大学-数学(文系)

(i) 実数で定義された多くの函数がある．命題「すくなくとも一つの実数値で，どの函数も の値をとる」の否定命題をつくりたい．下にあげたことばのなかから適当なことばを選んで，つぎの否定命題の(イ)，(ロ)，(ハ)のなかに記入せよ．

「(イ)実数に対し，そこで(ロ)の函数は で(ハ)．」

(イ) すくなくとも一つの，多くの，すべての，いろいろな，

(ロ) 多くとも一つ，すくなくとも一つ，ただ一つ，すべて，

(ハ) ある，ない．

(ii) 一平面上で二つの三角形が のようにあたえられている． は，平行移動，回転移動．線対称移動のそれぞれ多くも一回つかえば， の位置に移しうる．これを簡明に示せ．

(iii) を実係数の多項式とする． のグラフを 軸に平行に だけ平行移動するとき，移動した曲線は，まえの の曲線と全体として完全には一致しないことを証明せよ．

[2] 定線分 を頂角 の二等分線とする任意の三角形 をつくる．ただし辺 は点 をとおり，二辺 ， は等しくないようにとる．この三角形の外接円の における接線と との交点を とすれば，点 は定直線の上にあることを証明せよ．

[3] 同一平面上で，二点 ， をとおる直線の一方の側に二点 ， があって，
ともに の中点 から の距離にあり， は に垂直であるとする．
， ， ，
とおき， は直角でないとする．

(i) を と であらわせ．

(ii) を示せ．

[4] が毎時 の一定の速さで，ある地点から出発し， をすすんだのち， が同一地点を出発し，同一の路をへて一定の速さで を追う． が に追いつくまでの疲労を最小にするには，どんな速さですすめばよいか．ただし，疲労は速さの2乗と時間とに比例するものとする．

[5] 連立方程式 ， の根 ， がいずれも と とのあいだ（ と をふくむ）にあるためには， を座標とする点はどのような範囲にあるか，図示せよ．

[6] 直角二等辺三角形 の直角頂 をとおって に平行線をひき，その上に一点 をとり， となるようにする．

(i) は何度か．

(ii) ， の交点を とし， に関する の対称点を とすれば， は に平行であることを証明せよ．