1960年(昭和35年)京都大学-数学

（2科目150分．200点満点（工学部は2倍した400点満点））
【数学Ｉ幾何】

[1]（30点）二円 ， に交わる二直線 ， を引く（， の交点は ， の周上にないものとする）．円 と直線 との交点を ，，円 と直線 との交点を ，，円 と直線 との交点を ，，円 と直線 との交点を ， とする．また直線 は直線 および とそれぞれ ， で交わり，直線 は直線 および とそれぞれ ， で交わるとする．このとき四点 ，，， は同一円周上にあることを証明せよ．

[2]（30点） において，角と辺の間に
，

なる関係があるとき，角 ，， はそれぞれ何度か．

[3]（40点）一辺の長さ の正三角形 をその外心 のまわりに角 （）だけ回転したものを とする．また対応辺
と との交点を とする．

(i) 両三角形は直線 に関して対称であることを証明せよ．

(ii) 両三角形の共通部分は等辺六角形であることを証明せよ．

(iii) この六角形の一辺の長さを， を使って，表せ．

【数学ＩＩ】

[1]（30点） のとき， の値を求めよ．

[2]（30点） 平面において，点 に関して曲線 と対称な曲線の方程式を求めよ．
この二曲線が異なる二点で交わるときには はどんな範囲にあるか．
その二交点を通る直線が 軸と平行となるとき， の値を求めよ．

[3]（40点） のとき
(A) ，
(B)
はいずれも異なる二実根をもつことを証明し，つぎに(B)の二根のうち，ちょうど一根だけが(A)の二根の間にあることを証明せよ．

【数学ＩＩＩ】

[1]（30点） のとき， 平面において曲線 と二直線 ， とでかこまれた部分の面積を で表せ．つぎに が上の範囲（）を動くとき，上の面積の最大値を求めよ．

[2]（30点）点 で直交する二つの半直線 および の上にそれぞれ定点 ， をとり，， とする．つぎに 上の動点 と 上の動点 が なる関係をたもちながら，それぞれ ， に近づくとき，， の交点 が線分 を内分する比 はどんな値に近づくか．この極限値を で表わせ．

[3]（40点）二地点 ， の間に一台のバスが一定の速さで往復している．一定の速さで歩く人がこのバスと同時に を出発して に向かった．バスが 間を 往復して にもどったとき，人はちょうど に到達した．この間でバスの方が人よりも に近い位置にある時間と残りの時間との比を で表せ．ただし，バスは ， につくと，すぐ引きかえすものとする．