https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1960/SuuIKika

2025.12.29.23:31:25記

[2] $\triangle\mbox{ABC}$ において，角と辺の間に
$\sin A:\sin B=\sqrt{2}:1$ ，
$\overline{\mbox{AB}}^2=\overline{\mbox{AC}}^2+\sqrt{2}\overline{\mbox{AB}}\cdot\overline{\mbox{AC}}$
なる関係があるとき，角 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ はそれぞれ何度か．

2026.01.05.23:30:20記
正弦の比から正弦定理，線分の長さの関係から余弦定理を用いる地味に良い問題です．3つの角度を求めさせるのですから，正弦や余弦などから角度を求めることができる所謂有名角になると予想でき，正弦の比から $\sin A=\dfrac{1}{\sqrt{2}}，\sin B=\dfrac{1}{2}$ となり，「 $B=30^{\circ}$ ， $A=45^{\circ}$ ， $C=105^{\circ}$ 」または「 $B=30^{\circ}$ ， $A=135^{\circ}$ ， $C=15^{\circ}$ 」のいずれかになると予想できます．

[解答]
$\mbox{AB}=c$ ， $\mbox{BC}=a$ ， $\mbox{CA}=b$ とおくと，第1式 $\sin A:\sin B=\sqrt{2}:1$ …①と正弦定理から $a=\sqrt{2}b$ …②となる．また，第2式から $c^2=b^2+\sqrt{2}bc$ となり， $b，c\gt 0$ から $c=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}b$ …③ となる．

よって $b\lt a\lt c$ となり， $B\lt A\lt C$ …④が成立する．

一方，余弦定理と②③から $\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ $=\dfrac{1+(2+\sqrt{3})-2}{2\cdot 1\cdot \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}}$ $=\dfrac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ となり $A=45^{\circ}$ となる．このとき $\sin B=\dfrac{1}{2}$ となり④から $B=30^{\circ}$ となる（ $B=150^{\circ}$ は $A+B\gt 180^{\circ}$ より不適であるとしても良い）．よって $C=105^{\circ}$ である．

なお， $\cos B=\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$ $=\dfrac{a^2+\sqrt{2}bc}{2ca}$ $=\dfrac{2+\sqrt{2}\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}}{2\sqrt{2}\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}}$ $=\dfrac{3+\sqrt{3}}{2+2\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ となり $B=30^{\circ}$ ， $\cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ $=\dfrac{a^2-\sqrt{2}bc}{2ab}$ $=\dfrac{2-\sqrt{2}\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}}{2\sqrt{2}}$ $=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$ となり $C=105^{\circ}$ とそれぞれの角度を余弦定理で求めても良いでしょう（ $\cos 105^{\circ}=-\sin 15^{\circ}$ の値を知っている必要はありますが）．

また， $\cos B$ から $B=30^{\circ}$ を求めた後に正弦定理から $\sin A=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ とすると直接 $A=45^{\circ}$ か $A=135^{\circ}$ かを絞り込むのは難しく， $A=135^{\circ}$ のときは $C=15^{\circ}$ となり④に反することから絞り込むことになります．