1960年(昭和35年)京都大学-数学【数学Ｉ幾何】[1]

2025.12.29.23:31:25記

[1] 二円 ， に交わる二直線 ， を引く（， の交点は ， の周上にないものとする）．円 と直線 との交点を ，，円 と直線 との交点を ，，円 と直線 との交点を ，，円 と直線 との交点を ， とする．また直線 は直線 および とそれぞれ ， で交わり，直線 は直線 および とそれぞれ ， で交わるとする．このとき四点 ，，， は同一円周上にあることを証明せよ．

2026.01.05.02:12:56記
初等幾何で示そうとすると色々な位置関係の図が考えられます．

その全てを尽すような場合分けをすると時間が足りないので，適当な一つの図に対して示せば良すことになるでしょう．しかし複素平面で考えると場合分けが不要です．

[解答]
複素平面において などと書くことにすると，

が同一円周上にあるので， は実数となり，，，， であるから は実数となる．

が同一円周上にあるので， は実数となり，， であるから は実数となる．

よって は実数となる．ここで は同一直線上にあると仮定すると，その直線上に があることとなり， と が一致するので不適（と考えるのが自然）である．よって は同一円周上にある．

複素平面での共円条件は複比が実数となる形で捉えることができます．その実数が正か負かで円周角の定理か円に内接する四角形の向い合う角度の和が平角になる性質かが異なります（複比のとり方によってどちらが正の場合を表すかが変わる）．初等幾何で示そうとする際に色々な場合分けが出るのは，交点のどちらを にするのかの不定性が共円条件の実数の符号に影響を与え，角度を移動するときに円周角の定理を用いるのか円に内接する四角形の性質（向い合う角の和が平角，または外角は内対角に等しい）を用いるのかの違いが生じるからです．

本問を場合分けなく示そうとすると，複素平面における複素数が持っている向きと符号付き角度に相当するものと必要があり，次のように少々面倒です．これは数Ｉ幾何ということもあり，全ての位置関係に言及するのは難しく，よって適当な一つの図に対して示せば十分だと思われます．

[解答]
ここで登場するベクトルは全て零ベクトルでないとする．また記号 は角度の差が の整数倍に等しいときに用いるものとする．

平面ベクトル に対して を反時計回りに （） 回転して，適当な正の実数倍をしたときに となるとき， と表すことにすると，， が成立する．

また，異なる四点 が同一円周上にあること となることは同値となる（円周角の定理（差が ）または円に内接する四角形の向い角の和は平角（差が ））．

が同一円周上にあるので，
である．つまり （ とおく）…① が成立する．

が同一円周上にあるので，
である．つまり （ とおく）…② が成立する．

①②より
，

となり，

となるので は同一円周上にある．

特別な場合の図に対して証明をした場合，例えば次のようになります．

[解答]

と は，
（外角は内対角に等しい），
（外角は内対角に等しい）
ことから相似となり， となる．よって となり，円周角の定理の逆から は同一円周上にある．

[解答]

と は，
（外角は内対角に等しい，対頂角），
（対頂角，円周角，対頂角）
ことから相似となり， となる．よって となり，外角は内対角と等しいので は同一円周上にある．

要は， と が相似， と が相似， と が相似， と が相似，のいずれかを示せば良いということです．相似であるために必要な二角相当条件を2つの共円条件から導き，よって残りの角度が等しいことを示し，その等しい角が からなる四辺形の「円周角の相等」または「外角と内対角の相等」に対応しており，よってこの四点が共円となるという仕組みになっています．