https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1960/SuuII

2025.12.29.23:31:25記

[3]（40点） $a\gt 0$ のとき
(A) $x^2-x-a=0$ ，
(B) $x^2+ax-1=0$
はいずれも異なる二実根をもつことを証明し，つぎに(B)の二根のうち，ちょうど一根だけが(A)の二根の間にあることを証明せよ．

2026.01.06.01:38:37記
中間値の定理から解の場所を絞るのは基本ですが，良い値を見つけるのは少々難しいです．

[うまい解答]
$f(x)=x^2-x-a=0$ ， $g(x)=x^2+ax-1=0$ とおく．

$f(-a)=a^2\gt 0$ ， $f(0)=-a\lt 0$ ， $f(1)=-a\lt 0$ であるから(A)の解は $-a\lt x\lt 0$ の範囲に1つ， $1\lt x$ の範囲に1つある．

$g(-a)=-1\lt 0$ ， $g(0)=-1\lt 0$ ， $g(1)=a\gt 0$ であるから(B)の解は $x\lt -a$ の範囲に1つ， $0\lt x\lt 1$ の範囲に1つある．

よって(A)(B)はいずれも異なる二実解をもち，(B)の二根のうち，ちょうど一根だけが(A)の二根の間にある．

標準的には次のように解くでしょうか．

[解答]
$f(x)=x^2-x-a=0$ の判別式は $1+4a\gt 0$ ， $g(x)=x^2+ax-1=0$ の判別式は $a^2+1\gt 0$ であるから，(A)(B)はいずれも異なる二実解をもつ．

$f(x)=0$ の二解を $\alpha，\beta$ とおくと $\alpha+\beta=1$ ， $\alpha\beta=-a$ である．このとき
$g(\alpha)g(\beta)$ $=\{(a+1)\alpha+a-1\}\{(a+1)\beta+a-1\}$ $=\{(a+1)^2 \alpha\beta+(a^2-1)(\alpha+\beta)+(a-1)^2$ $=-a(a^2+3)\gt 0$
であるから，(B)の2実解のうち，少なくとも1つは(A)の2解の間にある．

ここでもし(B)の2実解のうち，両方が(A)の2解の間にあるとすると $g(\alpha)，g(\beta)\gt 0$ となり $g(\alpha)g(\beta)\lt 0$ に反するので，(B)の2実解のうち，ちょうど1つだけが(A)の2解の間にある．

もちろん， $g(x)=0$ の解を $\gamma，\delta$ として $f(\gamma)f(\delta)\lt 0$ を示して(A)の2実解のうち，少なくとも1つは(B)の2解の間にあることを示して，(B)の2実解のうち，少なくとも1つは(A)の2解の間にあることとあわせて，(A)(B)の解が交互に並ぶことから，(B)の2実解のうち，ちょうど1つだけが(A)の2解の間にあることを示しても良いでしょう．

[解答]
下に凸な2つの曲線 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ の交点は $\left(\dfrac{1-a}{1+a}，\dfrac{-a(a^2+3)}{(1+a)^2}\right)$ だけであり，これが $x$ 軸よりも下にあるので $f(x)=0$ の解と $g(x)=0$ の解はともに2実解であり，交互に並ぶので題意は示された．

ちょっとこれは攻めすぎでしょうか．