https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1960/SuuII

2025.12.29.23:31:25記

[2] $xy$ 平面において，点 $(1，1)$ に関して曲線 $y=x^2+bx$ と対称な曲線の方程式を求めよ．
この二曲線が異なる二点で交わるときには $b$ はどんな範囲にあるか．
その二交点を通る直線が $x$ 軸と平行となるとき， $b$ の値を求めよ．

2026.01.06.00:47:21記

[解答]
点 $(1，1)$ に関して点 $(x，y)$ と対称な点を $(X，Y)$ とおくと $x+X=y+Y=2$ であるから，
$2-Y=(2-X)^2+b(2-X)$ ，つまり $Y=-X^2+(b+4)X-2(b+1)$ となる．よって求める曲線の方程式は $y=-x^2+(b+4)x-2(b+1)$ である．

この二曲線が異なる二点で交わるための必要十分条件は点 $(1，1)$ が $y=x^2+bx$ よりも上にあることであり， $1\geqq1+b$ ，つまり $b\lt 0$ である．

その二交点を通る直線が $x$ 軸と平行となるのは， $y=x^2+bx$ の軸が点 $(1，1)$ を通るときであり， $b=-2$ である．