1960年(昭和35年)京都大学-数学【数学ＩＩ】[1]

2025.12.29.23:31:25記

[1] $x^3+x+2=0$ のとき， $x^5-x$ の値を求めよ．

2026.01.06.00:38:22記
五次式を三次式で割った余りは二次式となることを利用するのが基本ですが， $x^3+x+2$ は因数分解できるので，それを利用しましょう．

[解答]
$x^3+x+2=(x+1)(x^2-x+2)$ である．

(i) $x=-1$ のとき， $x^5-x=-1-(-1)=0$ である．

(ii) $x^2-x+2=0$ ，つまり $x=\dfrac{1\pm 7i}{2}$ のとき
$x^4=(x-2)^2=x^2-4x+4=-3x+2$ より $x^5-x=-3x^2+2x-x=-2x+6=5\mp\sqrt{7}i$ である．

よって $x=1$ のとき $0$ ， $x=\dfrac{1\pm 7i}{2}$ のとき $5\mp\sqrt{7}i$ （複号同順）となる．

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