https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1960/SuuIII

2025.12.29.23:31:25記

[3] 二地点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ の間に一台のバスが一定の速さで往復している．一定の速さで歩く人がこのバスと同時に $\mbox{A}$ を出発して $\mbox{B}$ に向かった．バスが $\mbox{AB}$ 間を $n$ 往復して $\mbox{A}$ にもどったとき，人はちょうど $\mbox{B}$ に到達した．この間でバスの方が人よりも $\mbox{B}$ に近い位置にある時間と残りの時間との比を $n$ で表せ．ただし，バスは $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ につくと，すぐ引きかえすものとする．

2026.01.07.00:41:33記
算数的に考えます．

[解答]
$\mbox{AB}=1$ とし，人が $\mbox{AB}$ を移動する時間を $1$ とすると人の速度は $1$ であり，バスの速度は $2n$ である．よってバスが人とすれ違ってから次にすれ違うまでの時間は $\dfrac{2}{2n+1}$ となり，つまり時刻 $\dfrac{2k}{2n+1}$ （ $k=1，2，…，n$ ）においてバスが人とすれ違い，バスの方が人よりも $\mbox{A}$ に近い位置になる．

同様に考えてバスが人を追い抜いて次に追い抜くまでの時間は $\dfrac{2}{2n-1}$ となり，つまり時刻 $\dfrac{2(k-1)}{2n-1}$ （ $k=1，…，n$ ）においてバスが人を追い抜き，バスの方が人よりも $\mbox{B}$ に近い位置になる．

よって $k$ 往復目でバスの方が人よりも $\mbox{B}$ に近い位置にある時間は
$\dfrac{2k}{2n+1}-\dfrac{2(k-1)}{2n-1}$ $=\dfrac{2(2n-2k+1)}{4n^2-1}$
となり， $k=1，…，n$ で合計すると
$\dfrac{2(2n^2-n(n+1)+n)}{4n^2-1}$ $=\dfrac{2n^2}{4n^2-1}$
となる．よって求める比は
$=\dfrac{2n^2}{4n^2-1}:\left(1-\dfrac{2n^2}{4n^2-1}\right)$ $=2n^2:(2n^2-1)$
である．