https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1960/SuuIII

2025.12.29.23:31:25記

[2] 点 $\mbox{O}$ で直交する二つの半直線 $\mbox{OX}$ および $\mbox{OY}$ の上にそれぞれ定点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ をとり， $\overline{\mbox{OA}}=a$ ， $\overline{\mbox{OB}}=b$ とする．つぎに $\mbox{OX}$ 上の動点 $\mbox{C}$ と $\mbox{OY}$ 上の動点 $\mbox{D}$ が $\overline{\mbox{CD}}=\overline{\mbox{AB}}$ なる関係をたもちながら，それぞれ $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ に近づくとき， $\mbox{AB}$ ， $\mbox{CD}$ の交点 $\mbox{P}$ が線分 $\mbox{AB}$ を内分する比 $\dfrac{\overline{\mbox{AP}}}{\overline{\mbox{BP}}}$ はどんな値に近づくか．この極限値を $a，b$ で表わせ．

2026.01.06.23:41:44記

[大人の解答]
$l=\sqrt{a^2+b^2}$ とおく．線分 $\mbox{CD}$ の包絡線はアステロイド $x^{2/3}+y^{2/3}=l^{2/3}$ であり，これと線分 $\mbox{AB}$ を含む直線 $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$ の接点は $a=l\cos t$ ， $b=l\sin t$ なる $t$ を用いて $(l\cos^3 t，l\sin^3 t)$ $=\left(\dfrac{a^3}{l^2}，\dfrac{b^3}{l^2}\right)$ となるので， $\dfrac{\overline{\mbox{AP}}}{\overline{\mbox{BP}}}$ の極限は $\dfrac{a-\dfrac{a^3}{l^2}}{\dfrac{a^3}{l^2}}$ $=\dfrac{(a^2+b^2)a-a^3}{a^3}$ $=\dfrac{b^2}{a^2}$ となる．

普通に解いてみましょう．

[解答]
$\mbox{A}(a，0)$ ， $\mbox{B}(0，b)$ ， $\mbox{C}(c，0)$ ， $\mbox{D}(0，d)$ （ $a^2+b^2=c^2+d^2$ ， $a，b，c，d$ は正）とおくと， $\mbox{P}$ の $x$ 座標は $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$ と $\dfrac{x}{c}+\dfrac{y}{d}=1$ の交点の $x$ 座標である $\dfrac{ac(d-b)}{ad-bc}$ となる．よって $\dfrac{\overline{\mbox{AP}}}{\overline{\mbox{BP}}}$ $=\dfrac{a-\dfrac{ac(d-b)}{ad-bc}}{\dfrac{ac(d-b)}{ad-bc}}$ $=\dfrac{d(b+d)}{c(c+a)}$ となり， $\mbox{C}\to\mbox{A}$ で $c\to a，d\to b$ であるから $\dfrac{d(b+d)}{c(c+a)}\to \dfrac{b\cdot 2b}{a\cdot 2a}$ $=\dfrac{b^2}{a^2}$ となる．