https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1960/SuuIII

2025.12.29.23:31:25記

[1] $0\lt a\lt 1$ のとき， $xy$ 平面において曲線 $x=a(y-a)^2$ と二直線 $x=0$ ， $y=1$ とでかこまれた部分の面積を $a$ で表せ．つぎに $a$ が上の範囲（ $0\lt a\lt 1$ ）を動くとき，上の面積の最大値を求めよ．

2026.01.06.23:12:59記

[解答]
求める面積を $S(a)$ とすると
$S(a)=\displaystyle\int_a^1 a(y-a)^2\,dy$ $=\dfrac{a}{3}(1-a)^3$
となる． $S'(a)=\dfrac{1}{3}(1-a)^2(1-4a)$ となるので増減表（略）から $a=\dfrac{1}{4}$ のときに最大値 $\dfrac{9}{256}$ をとる．

AM-GM不等式から
$\dfrac{3}{4}=\dfrac{(1-a)+(1-a)+(1-a)+3a}{4}\geqq \sqrt[4]{3(1-a)^3a}$ $=\sqrt[4]{9S(a)}$ （等号は $a=\dfrac{1}{4}$ ）
となるので $\dfrac{81}{256}\geqq 9S(a)$ となり， $\dfrac{9}{256}\geqq S(a)$ （等号は $a=\dfrac{1}{4}$ ）となります．