1959年(昭和34年)京都大学-数学(旧課程)

（3科目150分．210点満点（工学部は2倍した420点満点））
【解析Ｉ】

[1]（35点）次の四つの数の大小の順を示し，その理由を明かにせよ.
，，，．

[2]（10点，25点）(イ) に実数値を与えて，方程式 が実数 によって満たされるようにしたい．そのような の値の範囲を求めよ．

(ロ) 四次方程式 が四つの実根をもつようにするために，係数 に与えるべき実数値の範囲を求めよ．

[3]（35点），， は でない実数であり，

であるとき， の値を求めよ．また， がこれらの値をとる場合に，，， の間に成り立つおのおのの関係式を，なるべく簡単な形で表せ．

【解析ＩＩ】

[1]（35点）同じ円に内接する正 辺形と正 辺形との面積をそれぞれ とする．不等式 が成立するのは， がどんな値をとるときか．

[2]（10点，25点） は より大きくないとする．
(イ) 三次函数 の極大値を与えるような の値 を求めよ．

(ロ) の条件のもとで，上の極大値が最も大きくなるような の値を求めよ．

[3]（35点）放物線 と直線 とで囲まれた有限部分を，直線 によって二つの部分の面積に分けるとき，これら二部分の面積の比を計算せよ．ただし とする．

【幾何】

[1]（10点，15点，10点）一辺の長さ の正三角形 の辺 上に点 をとり，三角形 および三角形 の内心をそれぞれ ， とする．角 として

(イ) 角 および角 を求めよ．

(ロ) および の長さを求めよ．

(ハ) 辺 上で点 を動かすとき，比 の値の範囲を示せ．

[2]（20点×2）一辺の長さ の正方形 において二辺 ， の上にそれぞれ点 ， を となるようにとり，二線分 ， の交点を とする．またこの正方形の中心を ，辺 の中点を とする．

(イ) 三角形 は二等辺三角形であることを証明せよ．

(ロ) 三角形 の面積を求めよ．

[3]（15点×2）一辺の長さ の正三角形 において，頂点 を中心とし，半径 の円の劣弧 をえがく．同様に頂点 ， を中心としてそれぞれ劣弧 ， をえがく．

(イ) 二つの劣弧 ， と辺 のずれにも接する円の中心は，角 の二等分線上にあることを証明し，この円の半径を求めよ．

(ロ) 三つの劣弧 ，， のいずれにも接する円の中心は，正三角形の中心と一致することを証明し，この円の半径を求めよ．