1959年(昭和34年)京都大学-数学【数学Ｉ幾何】(新課程)[2]

[2] 三角形 において，垂心 と辺 の中点 とを結ぶ直線が，外接円と交わる二点のうちの一つを とするとき， は外接円の直径であることを証明せよ．

オイラー線

[うまい解答]
外心を始点とする位置ベクトルを考え，，， とおくと であり，， であるから
なる点 は外接円上にあるので， となる．このとき， は の に関する対称点であるから は外接円の直径である．

[解答]
に関する の対称点を とすると四辺形 は平行四辺形となるので， とから となり， が成立する．
同様に とから となり， が成立する．

よって四辺形 は向い合う角の和が となり円に内接するので， は外接円上にあるので となり， は外接円の直径である．

[別解]
三角形 の外心を ， の中点を とすると，
，，
であるから， が成立し，相似比は である．

よって と は を 中心に2倍拡大した点，つまり を一端とする直径の他端で交わるので，この直径の他端が となり，よって は外接円の直径である．

[大人の解答]
三角形 の外心を ，重心を とし， の中点を とすると， を 中心に 倍拡大したものが である．このとき， を 中心に 倍拡大したものが となったとすると， は と の交点であり，この交点は を 中心に2倍拡大した点，つまり を一端とする直径の他端であるから となり，よって は外接円の直径である．