https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1959/SuuIKika

2025.12.21.23:54:39記

[1] 一辺の長さ $a$ の正三角形 $\mbox{ABC}$ の辺 $\mbox{BC}$ 上に点 $\mbox{P}$ をとり，三角形 $\mbox{ABP}$ および三角形 $\mbox{ACP}$ の内心をそれぞれ $\mbox{O}$ ， $\mbox{O}'$ とする．角 $\mbox{ABP}=\theta^{\circ}$ として

(イ) 角 $\mbox{AOB}$ および角 $\mbox{AOP}$ を求めよ．

(ロ) $\mbox{AO}$ および $\mbox{AO}'$ の長さを求めよ．

(ハ) 辺 $\mbox{BC}$ 上で点 $\mbox{P}$ を動かすとき，比 $\mbox{AO}:\mbox{AO}'$ の値の範囲を示せ．

2025.12.28.22:25:32記

[解答]
(イ) $\angle\mbox{AOB}=180^{\circ}-\dfrac{1}{2}(180^{\circ}-\theta^{\circ})=90^{\circ}+\dfrac{\theta^{\circ}}{2}$ であり，
$\angle\mbox{AOP}=180^{\circ}-\dfrac{1}{2}(180^{\circ}-60^{\circ})=120^{\circ}$ である．

(ロ) 正弦定理から $\dfrac{\mbox{AB}}{\angle\mbox{AOB}}$ $=\dfrac{\mbox{AO}}{\angle\mbox{ABO}}$ となるので