https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1959/SuuII

2025.12.21.23:54:39記

[2] 正三角形の紙がある．三つの頂点を $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ とし，辺 $\mbox{AB}$ 上の一点 $\mbox{D}$ と辺 $\mbox{AC}$ 上の一点 $\mbox{E}$ とを結ぶ線分に沿ってこの紙を折り曲げ，頂点 $\mbox{A}$ が辺 $\mbox{BC}$ の上に落ちるようにする． $\mbox{BD}$ を最も大きくするには， $\mbox{AD}$ と $\mbox{AB}$ の比の値をどのように定めればよいのか．

2025.12.28.23:37:39記

[解答]
頂点 $\mbox{A}$ が辺 $\mbox{BC}$ の点 $\mbox{P}$ 上に落ちたとする．正三角形の一辺の長さを $a$ とし， $\mbox{BP}=ax$ （ $0\leqq x\leqq 1$ ）， $\mbox{BD}=au$ （ $0\leqq u\leqq 1$ ）とおくと，余弦定理により $(a-au)^2=\mbox{AD}^2=\mbox{PD}^2=(ax)^2-(ax)(au)+(au)^2$ が成立するので $u=\dfrac{a(1-x^2)}{2-x}=a\left\{4-\left(2-x+\dfrac{3}{2-x}\right)\right\}$ $\leqq a\left(4-2\sqrt{3}\right)$
（等号は $x=2-\sqrt{3}$ ）となる．よって $\mbox{BD}$ を最も大きくするには，
$\mbox{AD}:\mbox{AB}=(2-\sqrt{3}):1$
と定めれば良い．