https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1959/SuuIII

2025.12.21.23:54:39記

[1] 函数 $f(x)=\dfrac{x^2+ax+b}{px^2+qx+r}$ が次の諸条件を満たすように定数 $a$ ， $b$ ， $p$ ， $q$ ， $r$ の値を定めよ．

(A) $f(1)=0$ ，
(B) $f'(0)=\dfrac{5}{8}$ ，
(C) $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\dfrac{1}{2}$ ，
(D) $\displaystyle\lim_{x\to -1}|f(x)|=\infty$ ，
(E) $\displaystyle\lim_{x\to 2}|f(x)|=\infty$ ．

2025.12.28.23:58:29記

[解答]
(C)から $\dfrac{1}{p}=\dfrac{1}{2}$ ，つまり $p=2$ である．
(D)と(E)から $px^2+qx+r=p(x^2-x-2)$ となることが必要で， $q=-p=-2$ ， $r=-2p=-4$ となることが必要である．

このとき，
(A)から $f(1)=\dfrac{1+a+b}{-4}=0$ ，つまり $a+b=-1$ である．
(B)から $f'(0)=\dfrac{-4a+2b}{16}=\dfrac{5}{8}$ ，つまり $2a-b=-5$ である．よって $a=-2$ ， $b=1$ となる．

以上から， $a=-2$ ， $b=1$ ， $p=2$ ， $q=-2$ ， $r=-4$ となることが必要で，このとき
$f(x)=\dfrac{(x-1)^2}{2(x+1)(x-2)}$
となるので，(D)と(E)の必要条件は十分でもある．

(D)と(E)は $q=-p=-2$ ， $r=-2p=-4$ ， $1-a+b\neq 0$ ， $4+2a+b\neq 0$ と同値となるので， $a=-2$ ， $b=1$ を求めた後に $1-a+b\neq 0$ ， $4+2a+b\neq 0$ を確かめれば必要十分条件となる．