https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1959/SuuIDaisu

2025.12.21.23:54:39記

[2]（20点，15点） $t$ の値が $1$ から増加していくとき， $x$ と $y$ が次の二つの関係を保ってその値を変えていく．
$x=\dfrac{\sqrt{t+1}-\sqrt{t-1}}{\sqrt{t+1}+\sqrt{t-1}}$ ， $y=1-(t-1)x$ ．
このとき

(イ) $y$ は $x$ の二次式で表されることを示せ．

(ロ) $x$ ， $y$ の間の関係を表すグラフをえがけ．

本問のテーマ

双曲線関数

2025.12.28.17:51:21記

[解答]
(イ) $x=t-\sqrt{t^2-1}$ から $t^2-1=(t-x)^2$ となり， $t=\dfrac{x^2+1}{2x}$ であるから，
$y=1+x-tx=-\dfrac{x^2-x-1}{2}$
となる．

(ロ) $x=t-\sqrt{t^2-1}=\dfrac{1}{t+\sqrt{t^2-1}}$ の分母は単調減少であるから $0\lt x\leqq 1$ となるので，この範囲で $y=1+x-tx=-\dfrac{x^2-x-1}{2}$ を図示すればよい（図示略）．

$t=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{1}{x}\right)$ ， $u=\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{1}{x}\right)$ は双曲線 $t^2-s^2=1$ のパラメータ表示の1つであるから，双曲線関数を用いて $t=\cosh 2\theta$ とおくことが想定され，この場合， $x=(\cosh \theta-\sinh \theta)^2=\cosh 2\theta-\sinh 2\theta$ となるので $x^2=\cosh^2 2\theta+\sinh^2 2\theta-2\cosh 2\theta\sinh 2\theta$ となり， $x^2+1=2\cosh 2\theta(\cosh 2\theta -\sinh 2\theta)=2tx$
が成立するこがわかります．