https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1959/SuuIDaisu

2025.12.21.23:54:39記

[1] $x$ の常用対数の指標は $m$ であり，その仮数と $\sqrt{x}$ の常用対数の仮数との和は $1$ である． $x$ の常用対数の仮数， $\sqrt{x}$ の常用対数の指標および仮数を求めよ．

2025.12.28.17:16:59記

[解答]
$x$ の常用対数の仮数を $a$ （ $0\leqq a\lt 1$ ）とおくと $\log_{10}x=m+a$ だから $\log_{10}\sqrt{x}=\dfrac{m+a}{2}$ が成立する．

(i) $m$ が偶数のとき： $a+\dfrac{a}{2}=\dfrac{3}{2}a$ は整数で $0\leqq\dfrac{3}{2}a\lt \dfrac{3}{2}$ であるから $\dfrac{3}{2}a=1$ ，つまり $a=\dfrac{2}{3}$ となる．よって $x$ の常用対数の仮数は $\dfrac{2}{3}$ ， $\sqrt{x}$ の常用対数の指標は $\dfrac{m}{2}$ ，仮数は $\dfrac{1}{3}$ である．

(ii) $m$ が奇数のとき： $a+\dfrac{1+a}{2}=\dfrac{1+3a}{2}$ は整数で $\dfrac{1}{2}\leqq\dfrac{1+3a}{2}\lt 2$ であるから $\dfrac{1+3a}{2}=1$ ，つまり $a=\dfrac{1}{3}$ となる．よって $x$ の常用対数の仮数は $\dfrac{1}{3}$ ， $\sqrt{x}$ の常用対数の指標は $\dfrac{m-1}{2}$ ，仮数は $\dfrac{2}{3}$ である．

[別解]
$x$ の常用対数の仮数が $0$ の場合， $\sqrt{x}$ の常用対数の仮数は $0$ または $\dfrac{1}{2}$ となるので和が $1$ となることはない．よって $x$ は $10$ の冪乗ではない．このとき， $\log_{10} x^{3/2}$ $=\log_{10} x+\log_{10} \sqrt{x}$ は整数 $K$ となるので $x=10^{2K/3}$ と表すことができる．ここで $x$ の常用対数の仮数は $0$ ではないので $K$ は $3$ の倍数ではない．

(i) $K=3k+1$ の場合： $\log_{10}x=2k+\dfrac{2}{3}=2\left(k+\dfrac{1}{3}\right)$ であるから， $m=2k$ となり， $x$ の常用対数の仮数は $\dfrac{2}{3}$ ， $\sqrt{x}$ の常用対数の指標は $k=\dfrac{m}{2}$ ，仮数は $\dfrac{1}{3}$ である．

(i) $K=3k+2$ の場合： $\log_{10}x=2k+1+\dfrac{1}{3}=2\left(k+\dfrac{2}{3}\right)$ であるから， $m=2k+1$ となり， $x$ の常用対数の仮数は $\dfrac{1}{3}$ ， $\sqrt{x}$ の常用対数の指標は $k=\dfrac{m-1}{2}$ ，仮数は $\dfrac{2}{3}$ である．

$10^{2/3}≒4.6$ です．