https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1959/Kika

2025.12.22.00:20:59記

[3] 一辺の長さ $a$ の正三角形 $\mbox{ABC}$ において，頂点 $\mbox{A}$ を中心とし，半径 $a$ の円の劣弧 $\mbox{BC}$ をえがく．同様に頂点 $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ を中心としてそれぞれ劣弧 $\mbox{CA}$ ， $\mbox{AB}$ をえがく．

(イ) 二つの劣弧 $\mbox{AB}$ ， $\mbox{CA}$ と辺 $\mbox{BC}$ のずれにも接する円の中心は，角 $\mbox{A}$ の二等分線上にあることを証明し，この円の半径を求めよ．

(ロ) 三つの劣弧 $\mbox{BC}$ ， $\mbox{CA}$ ， $\mbox{AB}$ のいずれにも接する円の中心は，正三角形の中心と一致することを証明し，この円の半径を求めよ．

2025.12.29.16:56:15記
対称性から明らか，としては良くない気がします．

[解答]
(イ) 劣弧 $\mbox{AB}$ 上の点 $\mbox{T}$ で接する半径 $r$ の円の中心を $\mbox{D}$ とすると， $\mbox{TD}$ は $\mbox{C}$ を通るので $\mbox{CD}=a-r$ が成立し，この円が劣弧 $\mbox{CA}$ に接するとき，同様に考えて $\mbox{BD}=a-r$ が成立する．つまり $\mbox{D}$ は $\mbox{BC}$ の垂直二等分線上にあり， $\mbox{A}$ は $\mbox{BC}$ の垂直二等分線上にあるので， $\mbox{D}$ は角 $\mbox{A}$ の二等分線上にある．

このとき， $\left(\dfrac{a}{2}\right)^2+r^2=(a-r)^2$ が成立するので， $r=\dfrac{3a}{8}$ となる．

(ロ) （イ）と同様に考えて求める円の中心 $\mbox{E}$ は $\mbox{AE}=\mbox{BE}=\mbox{CE}$ を満たすので正三角形 $\mbox{ABC}$ の外心である．つまり正三角形の中心と一致する．

このとき，この円の半径は $a-\dfrac{\sqrt{3}}{4}a=\dfrac{4-\sqrt{3}}{4}a$ となる．